2019-2020第二学期线性代数B期中试题A1
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2022-08-04
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武汉大学数学与统计学院 2019-2020 第二学期
《线性代数 B》期中考试试卷
一、（5 分）若
214321
,,,,,
都是四维列向量,且四阶行列式 m
1321
,,,
,,,,
3221
n
计算四阶行列式
1 2 3 1 2
| , , , + |
.
二、（6 分）设
A
是
n
阶可逆矩阵, ,aA
A
的每行元素之和为 b .
试求：(1).
1
A
的行元素之和;(2). A 的代数余子式:
nkkk
AAA
21
。
三、（5 分）计算
n
阶行列式
1
2
21
2
1
2
212
121
1
2
1
n
xx
n
xx
n
x
n
xxxxx
n
xxxxx
D
四、（8 分）计算向量组
1
(1, 2,3, 1,2)
T
，
2
(2,1,2, 2, 3)
T
，
3
(5,0,7, 5, 4)
T
，
4
(3, 1,5, 3, 1)
T
的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大无关组的
线性组合。
五、（14 分）设
1 3 2 2 5 4
2 1 1 , 4 2 2
1 2 1 1 4 1
A B ，
（1）求
2 2
4 2 2
A B BA AB
； （2）求
*
A
，这里
*
A
是
A
的伴随阵。
六、（
14
分）已知
1 1 2 1 2 0
1 1 0 , 1 0 2
1 0 1
A B
a b c
，
（
1
）问
, ,
a b c
为何值时，
( , ) ( )
R A B R A
？
（
2
）求矩阵方程
X
A B
的全部解。
七、（14 分）已知 BA, 为三阶矩阵,且满足
E
B
B
A
4
2
1
,其中
E
是三阶单位矩阵.
（1）证明:矩阵
E
A
2
可逆; (2)若
200
021
021
B ,求矩阵
A
.
八、（14 分）已知
1 2 3 4
(1,0,2,3), (1,1,3,5), (1, 1, 2,1), (1, 2,4, 8),
a a
(1,1, 3,5)
b
(1) ba, 为何值时,
不能表成
1 2 3 4
, , ,
的线性组合?
(2) ba, 为何值时,
有
1 2 3 4
, , ,
惟一的线性表示式?并写出该表示式。
九、（10 分）(10 分)设
1 2
, , ,
n
是
n
维列向量组，矩阵
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
T T T
n
T T T
n
T T T
n n n n
A
试证明
1 2
, , ,
n
线性无关的充要条件是对任意
n
维列向量
b
，方程组
AX b
均有解。
十、（10 分）设向量组
m
,,
1
线性无关，而向量组
,,,,
m
1
线性相关，证明：若向量组
,,,
m
1
与
,,,
m
1
不等价，则
与
中有且仅有一个可由
m
,,
1
线性表示。
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