2019-2020第二学期线性代数B期中试题答案NEW1
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1
武汉大学数学与统计学院 2019-2020 第二学期
《线性代数 B》期中考试试卷解答
一、（5 分）若
214321
,,,,,
都是四维列向量,且四阶行列式 m
1321
,,,
，
,,,,
3221
n
计算四阶行列式
1 2 3 1 2
| , , , + |
.
解 由题设 m
1321
,,,
,,,,
3221
n
于是由行列式之性质得：
)(,,,
21123
nm
23211321
,,,,,,
。
二、（6 分）设
A
是
n
阶可逆矩阵, ,aA
A
的每行元素之和为 b .
试求：(1).
1
A
的行元素之和;(2). A 的代数余子式:
nkkk
AAA
21
。
解 (1)方法 1:由假设知, )0(,
1
1
1
b
b
b
b
A
(1)由
A
可逆,从而得,
b
b
b
AbA
b
b
b
A
1
1
1
111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,故
1
A
的行元素之和为
b
1
.
方法 2:将 A 中第 n,,3,2
列都加到第
1
列后从第
1
列中提出b ,再按第
1
列展开得:
)(
12111 n
AAAbA
,由于 0A 故 0
b 而且由上式可得:
1
1
2111
b
A
A
A
A
A
A
n
,即
1
A
的第一行中诸元素之和为
1
b ,同理可证其余每行元素之和也都是
1
b .
（2）因为
A
的每一行元素之和为b ,所以
b
b
b
A
1
1
1
又题设 0A 故
1
A
存在故有
1
1
1
1
b
b
b
A ,即
1
1
1
1
1
1
1
bA 也就是
b
b
b
A
1
1
1
1
1
1
1
另外由
1*
AAA
，
即
1*
aAA )0( Aa ,所以有
b
a
b
a
aAA
1
1
1
1
1*
即
b
a
b
a
b
a
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
1
1
1
21
22212
12111
,故
b
a
AAA
nkkk
21
.
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