1 命题逻辑-3rd1

《命题逻辑复习与对偶原理》 命题逻辑是逻辑学的基础部分，主要研究由命题变元、联结词以及量词构造的命题形式系统。它为我们理解和处理逻辑问题提供了基本工具。下面我们将深入探讨其中的一些核心概念。 命题变元是命题逻辑的基本元素，它们代表简单的陈述，如“A是红色的”或“B是真实的”。这些变元可以是真(T)或假(F)，但不同时为两者。 合式公式是指按照一定的语法规则构造的命题，例如通过使用逻辑联结词如“与”(∧)、“或”(∨)、“非”(¬)、“蕴含”(→)和“等价”(↔)。这些联结词用于连接命题变元，形成更复杂的逻辑表达式。 重言式是不论其命题变元取何值都为真的公式，等价于永真式。矛盾式则是无论何时都是假的公式，即永假式。永真蕴含式指的是无论前提如何，结论总是为真的表达式，比如“如果A，则A”。 代入规则和替换规则是命题逻辑推理中的基本操作。代入规则允许我们在公式中用另一个等价的公式替换某个子公式，而不改变整体的真值。替换规则涉及用一个公式替换另一个公式出现的所有实例，前提是这两个公式在特定上下文中等价。 常用逻辑恒等式，如德摩根定律（¬(A∧B) ≡ ¬A ∨ ¬B 和 ¬(A∨B) ≡ ¬A ∧ ¬B），提供了简化逻辑表达的有效方法。而常用永真蕴含式，如(A→B) → (¬B → ¬A)，是逻辑推理中的重要工具。 对偶原理是命题逻辑中的一个重要概念，它指出任何命题公式都可以构造出一个对偶式，通过对公式内的联结词和常值进行对偶变换。具体来说，"与"变为"或"，"或"变为"与"，"非"不变，"真"变为"假"，"假"变为"真"。对偶原理不仅保证了对偶式的真值与原公式相同，还提供了一种构造等价命题的新方法。 定理1.5-1表明，通过应用对偶原理，我们可以得到一个等价的永真式。定理1.5-2则说明，如果两个公式互为对偶，那么它们的真值性质是等价的。此外，定理1.5-3揭示了蕴含关系的对偶性质，即(A → B) 的对偶是 (B → A)。 范式是将命题公式转化为特定形式的过程，如析取范式（Disjunctive Normal Form, DNF）和合取范式（Conjunctive Normal Form, CNF）。在析取范式中，公式被表示为若干个基本积的析取，而在合取范式中，公式被表示为若干个子句的合取。这些范式在判定公式是否可满足或等价性检验等方面具有重要意义。 总结来说，命题逻辑是逻辑学的基础，它提供了分析和推理的结构。通过对偶原理、代入规则、替换规则以及范式转换，我们能够更有效地处理复杂的逻辑表达式，这对于理解和解决逻辑问题至关重要。