Walter Rudin，Principles of Mathematical Analysis, 3rd Edition

### Walter Rudin，《数学分析原理》第三版重要修订与补充 #### 一、概述 《数学分析原理》（第三版）是由Walter Rudin撰写的一本经典数学分析教材，本书以其严谨性和深度著称，在数学分析领域享有极高的声誉。在这一版本中，作者对前几版进行了重要的修正和完善，旨在提高文本的清晰度和易读性。 #### 二、重要修订与补充 ##### 1. 第4页，第4行 原文：“(ii) If γ ∈S is an upper bound of E, then γ ≥ α” **知识点解释：** 这里对书中的定义进行了微调，主要是为了增强表达的清晰度。原本的表述可能让读者在理解时产生混淆，因为“γ”作为集合S中的一个元素，如果它是集合E的上界，那么它应该大于或等于E的所有元素的最大值，即α（假设α是E的上确界）。修改后的表述更直观地表明了这一关系，强调了上确界的概念，即如果一个元素是集合的上界，则该元素至少要大于或等于该集合的上确界。 ##### 2. 第4页，定义1.10的第3行 原文：“Every subset E ⊂ S which is nonempty and bounded above has a supremum sup E in S.” **知识点解释：** 这部分对定义进行了澄清，使得读者能够更清楚地理解上确界的定义。原句中的表达已经很准确，但是通过调整语序和强调某些关键词，可以进一步加强定义的清晰度。修改后，“非空且有上界”的集合必然存在上确界，并且这个上确界也在集合S中，这一点对于理解实数理论的基础概念非常重要。 ##### 3. 第5页，定理1.11证明的最后一段 原文：“If α were not a lower bound of B, there would be some x ∈ B satisfying x < α. This x would be an upper bound of L (by the preceding paragraph), contradicting our assumption that α is the least upper bound of L. So α is a lower bound of B. Now if y is any lower bound of B, then y ∈ L, so y ≤ sup L = α; this shows that α is the greatest lower bound of B.” **知识点解释：** 这部分是对定理1.11证明的修订，其目的是增强证明的逻辑性和清晰度。通过添加具体的推理步骤，读者可以更直观地理解为什么α不仅是集合L的最小上界，也是集合B的最大下界。这种证明方法体现了数学分析中的严谨性和逻辑性，对于理解实数理论和极限理论非常重要。 ##### 4. 第6页，命题1.14 原文：“(e) –(x+y) = (–x) + (–y). Can you see how to prove this? I will either discuss it in class, or make it an exercise.” **知识点解释：** 这部分增加了一个关于加法逆元的新命题。通过引入这个命题，读者可以进一步探索实数的性质以及加法的逆运算。这不仅加深了对实数系的理解，也帮助学生练习如何构造数学证明。 ##### 5. 第12页，扩展实数集上的操作定义 原文：“Rudin should have noted the convention that x + (+∞) and x + (–∞) may be abbreviated x + ∞ and x – ∞ respectively, and mentioned that addition and multiplication are understood to be commutative on the extended reals, so that the definitions he gives also imply further cases like +∞ + x = +∞. Finally, the three equations in (a), instead of having the common condition ‘if x is real’, should be preceded by the respective conditions, ‘if x is real or +∞’, ‘if x is real or –∞’, and only in the last case simply ‘if x is real’.” **知识点解释：** 这部分对扩展实数集上的运算规则进行了补充和完善，强调了在扩展实数集中进行加法和乘法运算时的一些特殊规定和约定。这些补充对于理解极限概念以及在无穷大情况下的运算规则至关重要。通过对这些细节的修订，可以帮助读者更好地掌握和应用这些基本概念。 #### 三、总结 通过上述对《数学分析原理》第三版中几个重要修订与补充的详细解释，我们可以看到，这些修改不仅提高了文本的可读性和清晰度，而且增强了对数学分析核心概念的理解。这些知识点对于深入学习数学分析，尤其是实数理论和极限理论具有重要意义。通过对这些修订的学习和理解，读者可以更加系统地掌握数学分析的基本工具和方法，为进一步的研究打下坚实的基础。