第十次习题课答案1
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2022-08-04
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班序号： 学院： 学号： 姓名：王松年 1
第十次习题课
群文件《期中 & 期末试题》
考研例题–实对称矩阵
1.设 A 是 3 阶实对称矩阵，秩 r(A) = 2, 若 A
2
= A, 则 A 的特征值是 .
解：
设 λ 是 A 的任意特征值，α 是属于 λ 的特征向量，即 Aα = λα, α = 0。所以有：
A
2
α = AAα = Aλα = λAα = λλα = λ
2
α
又因为 A
2
= A，所以有 A
2
α = Aα，即 λ
2
α = λα, 解得 λ = 0 或 1。
因为 A 是实对称矩阵，所以 A ∼ Λ, 且 Λ 由 A 的特征值所构成，相似矩阵具有相同的秩，所以 r(Λ) = r(A) = 2, 所以可
以推出
Λ =
1
1
0
所以矩阵
A
的特征值是
1
,
1
,
0
。
♢
2.n 阶矩阵
A =
a 1 1 · · · 1
1 a 1 · · · 1
1 1 a · · · 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 1 1 · · · a
则 r(A) = .
解：
由第二题的方法 2 可快速写出 A 的特征值为 n + a − 1, a − 1, a − 1, · · · , a − 1. 因为 A 是实对称矩阵，所以 A ∼ Λ, 且 Λ
由 A 的特征值所构成，相似矩阵具有相同的秩，所以 r(Λ) = r(A), 所以
Λ =
n + a − 1
a − 1
.
.
.
a − 1
这里 n 是 A 的阶数，所以不会等于 0。所以
r (A) =
n, 若a = 1且a = 1 − n,
n − 1, 若a = 1 − n,
1, 若a = 1.
♢
3.设 α 为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则
A.E − αα
T
不可逆 B.E + αα
T
不可逆 C.E + 2αα
T
不可逆 D.E − 2αα
T
不可逆
解：
注意：单位向量指的是向量的模（长度）为 1，要与 [1, 1, 1] 区分开来。
αα
T
α = α(α
T
α) = 1α, 所以 αα
T
有一个特征值 1.
α 为 n 维单位列向量, 所以 r(αα
T
) = 1, 所以由第一题的结论，αα
T
的特征值为 1, 0, 0, · · · , 0。
阿汝娜老师
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