第5章 线性方程组的解法 -21

《线性方程组的解法》章节主要探讨了如何解决线性方程组的问题，以及在计算过程中涉及的向量和矩阵的范数及其应用。这一章分为几个关键部分，包括迭代公式的建立、向量和矩阵的范数以及迭代过程的收敛性。 迭代公式的建立是求解线性方程组的一种方法，它涉及到通过反复应用一个或多个运算步骤逐步接近解的过程。这种技术在计算机科学和工程中特别有用，因为它允许通过迭代近似地求解复杂的数学问题。 向量和矩阵的范数是理解迭代过程收敛性的基础。向量的范数可以看作是向量的“大小”或“长度”，它可以度量向量与原点之间的距离。例如，1-范数、2-范数（也称为欧几里得范数，对应于向量的长度）和∞-范数都是常见的向量范数类型。向量范数必须满足三个基本性质：正定性（非负且仅当向量为零时为零）、齐次性（乘以任意标量后范数保持比例不变）和三角不等式（两个向量之和的范数不大于它们各自范数的和）。这些性质确保了范数作为度量的有效性和一致性。 对于向量序列的收敛性，可以使用范数来判断。例如，一个向量序列收敛到另一个向量当且仅当在任意范数下，序列的极限都存在且等于目标向量。此外，向量范数的等价性表明，虽然不同类型的范数可能给出不同的数值，但它们在决定向量序列的收敛性方面具有等价性，这意味着使用任何等价的范数都可以得到相同的收敛结果。 矩阵的范数则是衡量矩阵作用于向量后增加向量“大小”的程度。矩阵范数通常定义为矩阵乘以单位向量的最大范数增长。矩阵范数也有一些重要的性质，比如非负性（矩阵范数总是非负的，且只有当矩阵为零矩阵时才为零），以及对于缩放的保范性（矩阵乘以标量后的范数等于标量的绝对值乘以原矩阵的范数）。 在计算线性方程组的解时，了解矩阵范数有助于分析迭代方法的收敛速度。例如，矩阵的条件数（由矩阵范数定义）可以提供关于解的敏感性以及迭代算法的效率的信息。如果一个矩阵的条件数很大，那么线性方程组可能对微小的输入变化非常敏感，导致解的变化很大。同时，矩阵的条件数也与迭代过程的收敛速率密切相关。 本章内容深入探讨了线性方程组的数值解法，特别是迭代方法，并强调了向量和矩阵范数在迭代过程中的核心角色，这对于理解和实现高效、稳定的计算方法至关重要。