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2020考研数学三真题及答案解析1
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1.找出无定义的点(无意义的点) 2.求该点的左右极限 3.按照间断点的定义判
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2020 年全国
硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题及解析
一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的.
(1)设
()
li
m
x
a
fx
a
b
xa
→
−
=
−
,则
si
n ( ) sin
lim ( )
x
a
fx
a
xa
→
−
=
−
(A).
si
nba
(B).
c
osba
(C).
si
n ( )b fa
(D).
c
os ( )b fa
【答案】B
【解析】
xx
si
n ( ) sin sin ( ) sin ( )
lim lim cos ( ) cos ( )
()
xa
aa
fx
a fx a fx a
fx b b fa
xa fx a xa
=
→→
−
−−
= ⋅ = ⋅=
− −−
设
()fx
u=
,则
(
)
()
si
n ( ) sin sin sin
lim = lim cos cos ( )
()
u
fa
x a u fa
fx
a u a
u fa
fx a u a
=
→→
−−
=
=
−−
则
x
si
n ( ) sin sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( )
lim lim lim lim
() ()
= cos
x
a a xa xa
fx
a fx a fx a fx a fx a
xa fx a xa fx a xa
ba
→
→ →→
−
−− − −
= ⋅= ⋅
− −− − −
(2)函数
1
1
ln
1
()
( 1)( 2)
x
x
ex
fx
ex
−
+
=
−−
,则第
二类间断点个数为( )
(A).1
(B).2
(C).3
旺旺id 河北师大研胜教育
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(D).4
【答案】C
【解析】本题考查的是第一类间断点与
第二类间断点的定义,判断间断点及类型的一
般步骤为:
1.找出无定义的点(无意义的点);2.求该点的左右极限;3.按照间断点的定义判
定。
第二类间断点的定义为
00
()
, ()fx fx
−
+
至少有
一个不存在,很显然
()fx
不存在的点
为
1,
0, 1, 2x x xx=−= ==
。
在
1x =
−
处,
11
li
m ( ) , lim ( )
xx
fx
fx
−+
→
− →−
=
−∞ = −∞
;
在
0x =
处,
+
00
1
li
m ( ) lim ( )=
2
x
x
fx
fx
e
−
→
→
=
−
;
在
1x =
处,
1
1
1
li
m 0
x
x
e
−
−
→
=
,
1
1
1
li
m
x
x
e
+
−
→
=
+∞
,
1
li
m ( ) 0
x
fx
−
→
=
,
+
1
li
m ( )
x
fx
→
=
−∞
;
在
2x =
处,
2
li
m ( )
x
fx
−
→
=
−∞
,
+
2
li
m ( ) +
x
fx
→
=
∞
;
所以,第
二类间断点为 3 个。
(3) 对奇函数
()fx
在
(,
)−∞ + ∞
上有连
续导数,则( )
(A).
[ ]
0
c
os () ()
x
f
t f t dt
′
+
∫
是奇函数
(B).
[ ]
0
c
os () ()
x
f
t f t dt
′
+
∫
是偶函数
(C).
[ ]
0
c
os () ()
x
f
t f t dt
′
+
∫
是奇函数
(D).
[ ]
0
c
os () ()
x
f
t f t dt
′
+
∫
是偶函数
【答案】
:A
【解析】
()fx
为奇函数,则其导数
()fx
′
为偶函数,又
c
os x
为偶函数,则
c
os ( ) cos ( )fx f x= −
,则
c
os ( )fx
为偶函数,故
c
os () ()fx f x
′
+
为偶函
数,以 0 为下限、被
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积函数为
偶函数的变限积分函数为奇函数。所以,本题选
A
;对于
CD和
选项,
()fx
′
为偶
函数,则
c
os ( ) cos ( )fx f x
′′
= −
为偶函数,
()fx
为奇函数
,则
c
os () ()f x fx
′
+
既非奇函数又
非偶函数
。
(4).已知幂级数
1
(
2)
n
n
n
na
x
∞
=
−
∑
的收敛
区间为
(
2,6)−
,则
2
1
(
1)
n
n
n
ax
∞
=
+
∑
的收
敛区间为
(A).(-2,6)
(B).(-3,1)
(C).(-5,3)
(D).(-17,15)
【答案】
B
【解析】
由比值法可知,幂级数收敛时,
22
2
11
2
(
1)
lim lim ( 1) 1
( 1)
n
nn
n
nn
n
n
ax
a
x
ax a
+
++
→
∞ →∞
+
=
+<
+
则要求
2
1
(
2)
n
n
n
ax
∞
=
+
∑
的收敛区
间,只需要求出
1
li
m
n
n
n
a
a
+
→
∞
的值即
可,
而条件告诉我们幂级数
1
(
2)
n
n
n
na
x
∞
=
−
∑
的收敛
区间为
(
2,6)−
,即收敛半
径为 4
1
11
(
1)
11
lim lim lim
4
n
nn
n nn
n nn
na
a a
n
na n a a
+
++
→∞ →∞ →∞
+
+
= =
=
则
22
1
1
l
im ( 1) ( 1) 1
4
n
n
n
n
a
xx
a
+
→
∞
+
= +<
,即
31x−
< <
所以本题
选
B
。
(5)设 4 阶矩阵
()
i
j
a=A
不可逆,
12
a
的代数余
子式
12
0A ≠
,
1
234
,
,,α α α α
为矩阵
A
的列向量
组,
*
A
为
A
的伴随
矩阵,则
*
=Ax
0
的通解为( )
(A)
11
2 2 33
kk
k=++x α α α
(B)
11
2 2 34
kk
k=++x α α α
(C)
1
1 23 34
kk
k=++x α α α
(D)
1
2 23 34
kk
k=++x α α α
旺旺id 河北师大研胜教育
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【答案】
(C)
【解析】
()
i
j
a=A
不可逆
知,
0=A
及
()
4r <A
;由
12
0A ≠
知
*
≠AO
且
13
4
,,α α α
线性无
关(无
关组的延长组仍无关),故
()
3r =A
及
*
(
)1r =A
,故
*
=Ax
0
的基
础解系含有 3 个向量。由
*
=
=AA AE O
知,
A
的列向量均
为
*
=Ax
0
的解,故通
解为
1
1 23 34
kk
k=++x α α α
。
(6)设
A
为 3 阶矩阵,
12
,α α
为
A
的特征值
1
对应的两
个线性无关的特征向量,
3
α
为
A
的特
征值
1−
的特征向量
。若存在可逆矩阵
P
,使
得
1
1
00
0 10
001
−
= −
P AP
,则
P
可为( )
(A)
1
32 3
(
,, )+−α α α α
(B)
1
22 3
(
,, )+−α α α α
(C)
1
3 32
(
, ,)+−α α α α
(D)
1
2 32
(
, ,)+−α α α α
【答案】
(D)
【解析】因为
12
,α α
为
A
的特征值
1
对应的两个线性无关的特征向量,故
1
22
,+α α α
仍为特
征值
1
的两个线性无关的特征向量;因为
3
α
为
A
的特征值
1−
的特征向量,故
3
−α
仍为特
征值
1−
的特征向量
,因为特征向量与特征值的排序一一对应,故只需
1
2 32
(
, ,)=+−P α α α α
,
就有
1
1
00
0 10
001
−
= −
P AP
。
(7)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12
1
,0,
4
1
====== B
CPACPABPCPBPAP
,
则
CBA ,,
恰
好发生一个的概率为
( )
(A).
3
4
(B).
2
3
(C) .
1
2
(D).
5
12
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