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2021考研数学三真题及答案解析1

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数学（三）试题及解析第 1页（共 12页）

2021

年全国硕士研究生招生考试

数学（三）

（科目代码：303）

考试时间：180 分钟，试卷总分：150 分

考生注意事项

1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指

定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书

写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写

部分必须使用 2B 铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)

考生编号

考生姓名

菜园子学委会

数学（三）试题及解析第 2页（共 12页）

一、选择题：

～

小题，每小题

分，共

分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的．

1.当

0x 

，

(e 1)d

t



是

的

A. 低阶无穷小. B. 等价无穷小. C. 高阶无穷小. D. 同阶但非等价无穷小.

【答案】

【解析】

   

3 6

7 5 5

0 0 0

e 1 d 2 e 1

lim lim lim 0

7 7

t x

x x x

  

 

  



,故选 C.

2.函数

e 1

, 0,

( )

1, 0

f x



















在

0x 

处

A.连续且取极大值.

B.连续且取得最小值.

C.可导且导数等于零.

D.可导且导数不为零.

【答案】D

【解析】因为

)0(1

lim







，故连续；又因为

11e

lim











，故可导，

所以选 D

3.设函数

( ) ln ( 0)f x ax b x a  

有 2 个零点，则

的取值范围

 

e, 

. B.

 

0,e

. C.

 

 

 

. D.

 



 

 

【答案】A

【解析】

 

lnf x ax b x, 

若

0b

，不满足条件，舍去

若

0b

令

 

f x a



 

，得



在

   

0 0 0

b b

, f x , , f x .

a a

   

 

  

   

   

，，+

菜园子学委会

数学（三）试题及解析第 3页（共 12页）

   

lim f x , lim f x







   

，

令

= ln 1 ln 0

b b b

f b b b ,

a a a

   

   

   

   

得

ln 1



，即



故选 A.

4.设函数

 

,f x y

可微，且

 

2 2 2

+1,e ( 1) , ( , ) 2 ln ,

f x x x f x x x x  

则

 

d 1,1f 

d dx y

. B.

d dx y

. C.

. D.

dy

【答案】选 C

【解析】由于

( 1,e ) ( 1)

f x x x  

两边同时对

求导得

1 2

( 1,e ) ( 1,e )e ( 1) 2 ( 1)

x x x

f x f x x x x

 

      

令

0x 

得

1 2

(1,1) (1,1) 1 0f f

 

  

2 2 2

1 2

( , ) ( , )2 4 ln 2f x x f x x x x x x

 

   

令

1x 

得

1 2

(1,1) 2 (1,1) 0 2f f

 

  

因此

(1,1) 0f





；

(1,1) 1f





所以

d (1,1) df y

，答案选 C

5.二次型

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x     

的正惯性指数与负惯性指数依

次为

02，

11，

12，

21，

【答案】B

【解析】

       

2 2 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1

, ,f x x x x x x x x x     

2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 3 3 3 1 3 1

2 2 2x x x x x x x x x x x x        

2 1 2 2 3 1 3

2 2 2 2x x x x x x x   

菜园子学委会

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