离散数学（Ⅱ）试题1

离散数学作为计算机科学的基础，涉及众多概念和理论，其中包括图论、网络流、算法设计等。本试题主要考察了这些领域的一些核心知识点。 一、关联矩阵：在图论中，关联矩阵是一种表示有向图边关系的矩阵，其中行和列对应图中的顶点，矩阵元素表示对应顶点间是否有边相连。对于一个有向图，如果从i到j存在一条边，则关联矩阵中的第i行第j列元素为1，否则为0。题目要求写出给定有向图的关联矩阵，这需要观察图形结构并准确地将其转换为矩阵形式。 二、无回路证明：回路是指图中起点和终点相同的路径。证明一个有向图中没有回路，通常需要运用深度优先搜索或广度优先搜索等算法，通过遍历所有可能的路径来确定是否存在这样的回路。在这个问题中，考生需要仔细分析图的结构，确保每条边的组合都不构成回路。 三、平面图的对偶图：平面图的对偶图是由原图的面构造的，每个面对应一个顶点，每条原图的边界边对应对偶图的一条边，且两个面相邻则在对偶图中连接相应的顶点。题目要求用虚线画出平面图的对偶图，需要理解面的概念以及对偶图的构造规则。 四、最大流问题：网络流问题是在给定源点和汇点的网络中，寻找最大可行流量的问题。图中每条边的容量限制了可以通过该边的流量。Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法常用于求解最大流。题目中给出了每条边的容量和容许流，需要找出能从源点到汇点传递的最大流量。 五、旅行商问题：这是一个经典的组合优化问题，目标是找到访问每个城市一次并返回起点的最短路径。最近邻算法是一种简单的启发式方法，每次从当前城市选择距离最近的未访问城市作为下一站，直到遍历所有城市。但这种方法不一定能找到全局最优解。 六、Kruskal算法：Kruskal算法是求解最小生成树的算法之一，它按照边的权重从小到大选择边，并检查所选边是否形成环，如果不成环则加入到当前的生成树中，直到连接所有顶点。 七、子群：在抽象代数中，阿贝尔群是一个满足交换律的群，即群中的任意两个元素相乘（运算）的结果与顺序无关。证明一个集合是阿贝尔群的子群，需要验证它包含群的单位元，并且闭合于群的运算是指对集合内的任何元素进行运算后结果仍属于该集合。这里需要证明集合H是群G的子群。 八、对换和群操作：在群论中，对换是将元素互换的操作。计算群中元素的对换之积，即执行一系列对换操作后得到的新元素。题目中要求计算特定对换操作的序列，并将结果表示为对换的乘积。 九、无限循环群的生成元：群的生成元是能够通过其运算生成整个群的元素。无限循环群是由一个元素生成的群，其中任何非零元素都可以作为生成元。证明无限循环群的生成元个数，需要理解群的生成原理和无限循环群的特性。 这份试题涵盖了离散数学的重要概念，包括图论、网络流、最优化算法、群论等多个方面，旨在测试学生的理解和应用能力。