（解答）《随机过程》第一章习题1

在随机过程的学习中，我们经常会遇到各种类型的问题，如计算概率分布、证明随机变量的独立性等。在本题中，我们将探讨几个关于随机变量和随机过程的基础问题。 让我们解析第一个问题。题目中提到随机变量 \( X \) 服从参数为 1 的指数分布，即 \( f_X(x) = e^{-x} \mathbb{1}_{(0,\infty)}(x) \)，而随机变量 \( Y \) 的分布未知，但已知 \( Y \) 与 \( X \) 独立。我们需要找到随机变量 \( Z = Y^2 \) 的分布密度函数。通过变换 \( U = X^2 \) 和 \( V = Y^2 \)，我们可以得到 \( U \) 和 \( V \) 的密度函数，并利用这两个独立的变量来推导 \( Z \) 的分布。经过一系列积分变换，我们最终得到 \( Z \) 的分布密度函数为 \( f_Z(z) = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{1}{z}} \mathbb{1}_{(0,\infty)}(z) \)。 第二个问题涉及两个独立同分布的随机变量 \( X_1 \) 和 \( X_2 \)，它们都服从参数为 \( \lambda > 0 \) 的指数分布。我们需要证明随机变量 \( U = X_1 + X_2 \) 也服从参数为 \( \lambda \) 的指数分布。通过计算 \( U \) 的边缘分布，我们发现 \( U \) 的分布密度函数确实与 \( X_1 \) 和 \( X_2 \) 的相同，从而证明了 \( U \) 也是一个指数分布。 第三个问题中，随机向量 \( (Y, X) \) 的两个分量是独立的标准正态分布。我们需分别写出 \( Y+X \) 和 \( Y-X \) 的分布密度，并判断它们是否独立。根据正态分布的性质，可以得出 \( Y+X \) 和 \( Y-X \) 都是标准正态分布，然后通过计算它们的协方差矩阵来验证它们是否独立。由于协方差为零，这表明 \( Y+X \) 和 \( Y-X \) 是独立的。 最后一个问题，给定一个二维随机变量 \( (X,Y) \) 的联合密度函数，要求边缘密度函数、条件密度函数，以及在 \( Y \) 落在某个区间时 \( Y \) 与 \( X \) 的关系。我们可以通过对联合密度函数进行积分来求得边缘密度函数，再根据条件概率公式找到条件密度函数。在 \( Y \) 属于特定区间时，我们可以解出 \( X \) 与 \( Y \) 的关系，并进一步确定 \( Y \) 的条件分布。 这些问题展示了随机变量之间的关系、变换和分布特性，这些都是随机过程理论中的基本概念。通过解决这些问题，我们可以更好地理解和应用随机过程的理论知识。