研究生西安交大版汪荣鑫《随机过程》课后题答案（随机过程第1,2章答案）

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西安交大版

汪荣鑫《随机过程》

课后题答案

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随机过程第1,2 章答案

第2章平稳过程.pdf 679KB

第1章随机过程的基本概念.pdf 374KB

第二章平稳过程

1．指出下面所给的习题中，哪些是平稳过程，哪些不是平稳过程？

（1）设随机过程

etX



)(

，t>0，其中

具有在区间

),0( T

中的均匀分布

解：∵ 该随机过程的数学期望为

∴ 该随机过程不是平稳过程。

（2）设随机过程

}),({  ttX

在每一时刻的状态只取 0 或 1 数值，而在不同时

刻的状态是相互独立的，且对任意固定的 t 有

1}0)({ }1)({ ptXPptXP 

其中

10  p

解：∵ 该随机过程的数学期望为

ptXPtXPtEXtm

 }0)({0}1)({1)()(

（常数）

该随机过程的自相关函数为：

}0)()({0}1)()({1)]()([),( 



tXtXPtXtXPtXtXEttR

}1)({}1)({ ptXPtXP 



结果与 t 无关

∴ 该随机过程是平稳随机过程。

（3）设

}1,{ nX

是独立同分布的随机序列，其中

的分布列为

-1

，j=1,2,…

定义





，试对随机序列

}1,{ nY

，讨论其平稳性。

解：∵

1}1{)1(}1{1 

jjj

XPXPEX

∴







EXXEEY

0)(

（常数）

又因为随机序列

的自相关函数。















 







kjY

XXEmnYnEYmnnR

1 1

)()(),(

m 为自然数







TtTxtxt

conste

etEXtm

]1[

111

)()(



























  

  

kjj

XXXE

1 1 1

























































  

  

XXEXEXXXE

1 1

11 1

 

 



kjn

EXEXEY

1 1

nnnn

DYEYDYEY 

)(

∵

 

  

  

















jjjj

npEXEXEXDXXDDY

1 1 1

222

)(

即

)(),( mRnpmnnR



∴ 该随机过程不是平稳过程。

（4）设随机过程

 ttAtX ),cos()(



，其中



为正常数，

,A

是相互独立

的随机变量，且 A 服从在区间[0，1]上均匀分布，而



服从在区间[0，2



]上的均匀分布。

解：∵

 



0)cos(

1)]cos([)()(









dtdatAEtEXtm

（常数）

而自相关函数为：



000

cos

)])(cos()cos([)()(),(  ttAEtXtEXttR

∴ 该随机过程是平稳随机过程。

（5）设随机过程

 tttX ,cos)(



，其中



在区间

)

(





中服从均匀

分布。

解：随机变量



的概率密度为

















其它 0

)

(

)(





∴

)0( sin

cos

)(





















tdtEXtm





cos)

sin(







不是常数

∴ 该随机过程不是平稳过程。

（6）设有随机过程

 tYtXtX ,)(

，而随机向量



),( YX

的协旗阵为















解：∵

tEYEXYtXEtEXtm

 )()()(

当

0t

时

)(tm

不是常数

∴ 该随机过程不是平稳随机过程。

（7）设有随机过程

 tZtYtXtX ,)(

，其中 X，Y，Z 是相互独立的随机变

量，各自的数学期望为 0，方差为 1。

解：∵

0][)()(

 EZttEYEXZtYtXEtEXtm

（常数）

22222

)()(1)()(



 ttttEZttEYttEX

自相关函数

)(),(



RttR 

∴ 该随机过程不是平稳随机过程。

（8）设有随机过程

XtX )(

（随机变量），则



 DXaEX

。

解：∵

aEXtEXtm

 )()(

（常数）

)()()()(),(

2222



RaEXDXEXtXtEXttR 

∴ 该随机过程是平稳随机过程。

2．设随机过程

UttX sin)( 

，其中 U 是在[0，2π ]上均匀分布的随机变量。试证

（1）若

Tt

，而

},2,1{ T

，而

},2,1),({ ttX

是平稳过程；

（2）若

Tt

，而

),0[ T

，而

}0),({ ttX

不是平稳过程。

证明：（1）∵ 该随机过程

UttX sin)( 

的数学期望为

0]12[cos

cos

sin

)()(













vtdvtEXtM

（常数）

)](sin[sin)()(),( mtVVtEmtXtEXmttR



0)2sin(

sin

)2cos(

cos

)2cos(

cos

)]2cos([cos











 



 



vmt

vdvmtmvdv

VmVtEmVEvmVtmVE

∴

},2,1),({ ttX

是平稳随机过程。

（2）∵

)},0[),({ ttX

的数学期望为











cos

sin

sin)()( vt

vtdvVtEtEXtm

]2cos1[





不是常数

∴

]},0[),({ ttX

不是平稳过程。

)])()()([()]()([),(



 tZtYXZtYtXEtXtXEttR

])()(

)()()()([

2222

ZttYZttXZ

YZttYtttXYXYtXZtXE









3．设随机过程

 ttAtX ),cos()(



其中



是常数，A 与Φ 是独立随机变量。Φ 服从在区间（0，2π ）中的均匀分布。A 服从

瑞利分布，其密度为



















0 0

)(



设随机过程

 ttCtBtY ,sincos)(



，其中 B 与 C 是相互独立正态变量，且

都具有分布 N（0，



）。

（1）试证

)(tX

是平稳过程

证明：对于随机过程

)cos()(

 tAtX



的数学期望为

)cos()cos()()(

 tEEAEAtEXtm



 







0)cos(











dtdxe

（常数）

自相关函数

)]cos()cos([)()(),(

000





ttAEtXtEXttR

)]cos()[cos(

000





ttEEA

)]22cos([cos

)]cos()[cos(

000000





tEttE

)22cos(

)(cos

000





tEE









000

cos

)22cos(

cos





















dexdxe

xEA

















2)( dxxexdeex

xxx



dxedxe











































2)(2











∴



coscos

2),( ttR

∴ 该随机过程为平稳随机过程。

（2）用本章例 4 说明 Y(t)是平稳过程

证明：∵

0DC DB 0)()(





cEBE

根据例 4，随机过程 Y(t)是平稳随机过程。

4．设 S(t)是周期为 T 的周期函数，而



是在区间（0，T）上的均匀分布的随机变量，

随机过程

 ttStX ),()(

称为随机相位周期过程。试问 X(t)是否为平稳过程，又问它是否具有各态历经性

解：∵

 





duuS

utdtS

tEXtm

)(

)()(



（周期函数性质）

∴





duuS

)(

常数

又 ∵

)]()([)()(),(



 tStSEtXtEXttR

 





T Tt

duSuS

dtStS

)()(



∴

)()( tStS

的周期也为 T。

∴

 





RduuSuS

duuSuS

ttR

)()()(

)()(

),(



∴

)()(  tStX

是平稳随机过程。

再讨论随机过程 X(t)的各态历经性

∵

 

 





dttX

tX )(

lim)(









dttS

)(

lim

5．设

}),({  ttX

是随机相位周期过程，它的一个样本函数

)(tX

如下图所示。周期

和振幅

都是常数，相位

是区间（0，

）上的均匀分布，求

)(tEX

解：根据上图，得



















Ttt

tTTtta

tttTtta

000

,/)4/(8

,/)(8

)(

则

 

 





8 4

0000

(8)1(

/)(8

)]([

Tdt

tta

Tdttta

tXE

评论收藏

内容反馈

zxc290591283

2013-03-21

谢谢了终于找到了 1.2章赞
zhaoruili

2014-04-07

答案怎么不全
zhang634568

2014-07-07

答案还可以，就是不全。
yuyouwuhu

2011-11-19

只有前两章，但是还是可以
yuanqing19810116

2013-04-19

内容不全啊，还可以

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zhuhua1986

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