概率论与数理统计__课后习题详解(浙大第四版)。盛骤

概率论与数理统计作业习题解答（浙大第四版） 第一章 概率的基本概念 习题解析 第1、2题 随机试验、样本空间、随机事件 ------------------------------------------------------------------------------- 1．写出下列随机试验的样本空间： （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）生产产品直到有10 件正品为止，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续 查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。 解 （1）高该小班有n 个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0，1，2，…，100，n 个人分数这和的可能取值为0，1，2，…，100n，平均分数的可能取值为 0 1 100 , ,..., , n n n n 则 样本空间为 S= 0,1,2, ,100 k k n n    =    ⋯ （2）样本空间S={10，11，…}，S 中含有可数无限多个样本点。 （3）设1 表示正品，0 有示次品，则样本空间为 S={（0，0），（1，0，0），（0，1，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（1，1， 0，0），（1，0，1，0），（1，0，1，1），（0，1，1，1），（1，1，0，1），（1，1， 1，0），（1，1，1，1）} 例如（1，1，0，0）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。 （4）设任取一点的坐标为（x，y），则样本空间为 S={ } (x, y) x2 + y2 £1 ------------------------------------------------------------------------------- 概率论与数理统计是研究随机事件及其发生的规律性的一门数学分支。它在自然科学、工程技术、社会科学、经济学以及许多其他领域都具有广泛的应用。浙江大学出版社出版的《概率论与数理统计》（浙大第四版）是一本流行的教科书，它详细介绍了概率论和数理统计的基础理论、方法和应用。本次习题详解围绕该教科书的第一章“概率的基本概念”展开，通过解决具体习题来加深对概率论中关键概念的理解。 我们来看随机试验、样本空间和随机事件的概念。随机试验指的是在相同的条件下进行的，其结果不是唯一的，而是有多种可能结果的实验或观测过程。样本空间是随机试验所有可能结果的集合，每个元素称为样本点。随机事件则是样本空间的一个子集，它由一个或多个样本点组成。 在给出的习题中，有四个具体的随机试验例子： （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数。这里样本空间为一个有界区间，具体取决于班级人数n。平均分数的可能取值范围是0到100，而具体的样本点取决于n个人分数的和。 （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。样本空间包含所有可能导致第10件正品出现的生产总数，是一个无限可数集。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，记录检查的结果。这个例子较为复杂，它包含了多个检查步骤，最后的样本空间是所有可能的检查结果组合。 （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。这是一个典型的几何概率问题，样本空间是单位圆内的所有点。 解决这类问题时，通常会涉及到如何确定样本空间以及如何从样本空间中识别出事件。样本空间的确定是概率论中最为基础的部分，它对后续的概率计算有着直接的影响。 接着，我们来看看事件的表示方法。对于三个事件A、B、C，它们的组合可以通过集合运算来表示，例如： （1）A发生，B与C不发生可表示为A∩B'∩C'，其中'表示事件的补集，即不发生的部分。 （2）A与B都发生，而C不发生可表示为A∩B∩C'。 （3）A，B，C中至少有一个发生可表示为A∪B∪C。 （4）A，B，C都发生可表示为A∩B∩C。 （5）A，B，C都不发生可表示为A'∩B'∩C'。 （6）A，B，C中不多于一个发生可表示为(A∩B'∩C')∪(A'∩B∩C')∪(A'∩B'∩C)。 （7）A，B，C中不多于两个发生可表示为(A∩B∩C')∪(A∩B'∩C)∪(A'∩B∩C)∪(A'∩B'∩C)∪(A∩B∩C)。 （8）A，B，C中至少有两个发生可表示为(A∩B∩C')∪(A∩B'∩C)∪(A'∩B∩C)∪(A∩B∩C)。 了解这些表示方法有助于我们更准确地描述事件之间的关系，并在此基础上进行概率的计算。 此外，习题中还讨论了概率的定义和性质，例如古典概型。在古典概型中，如果一个试验的全部结果有n种可能，每种结果发生的可能性都相等，则任一事件A发生的概率定义为事件A包含的结果数除以n。而概率的加法原理、乘法原理等则是进一步处理更复杂事件概率计算的基础。 在处理概率问题时，掌握事件的基本运算规则，理解不同事件之间的关系，以及能够准确地构造和识别样本空间对于解决实际问题至关重要。这些概念和方法不仅在理论学习中有着重要地位，而且在工程实践和科学研究中发挥着重要作用。