19-20高等数学II期中试卷_11

高等数学II的期中试卷包含了多个核心概念，涵盖了多元函数微积分的重要知识点。以下是各题涉及的详细内容： 1. **平面方程的求解**：题目要求求过直线20:3240xyzLxyz−+= −++=且平行于x轴的平面方程。这需要使用平面的一般式或点法式来求解，考虑平面与x轴平行，则z坐标是常数，利用这一条件建立方程。 2. **偏导数的计算**：对于函数(sin )xzf ey=，要求2222zzxy+。这是对二元复合函数进行偏导数运算，需要利用链式法则进行计算。 3. **隐函数的微分**：给定方程siny zexze+ −=确定了一个隐函数( , )z x y，在点(0,1)附近，要求全微分和2(0,1)zx y 。这里需要使用隐函数的微分法，找出z关于x和y的表达式，然后计算导数。 4. **切平面与切线的垂直关系**：求曲面222236xyz++=在点P(t)处的切平面，使得该切平面与曲线23xtytzt===在t=1处的切线垂直。首先需要找到曲面在P(t)的切平面方程，再利用两直线垂直的条件，即它们的法向量互相垂直，来确定t的值。 5. **累次积分**：题目要求计算10cosddxxyIxyy= ，这是一个二重积分，需要先对y进行积分，然后再对x积分。注意积分的顺序和积分区域。 6. **梯度与方向导数**：求函数22( , , )ln()f x y zzxy=++在点A(3,4,1)的梯度和沿向量AB=(5,2,2)的方向导数。梯度表示函数在某点的最大变化率方向，方向导数则是梯度与特定方向的标量积。 7. **极值点的寻找**：要求找二元函数33( , )8f x yxyxy=+−的极值点。这需要计算函数的偏导数，并通过二元函数极值的必要条件，即Hessian矩阵的特征来判断。 8. **拉格朗日乘数法**：用这种方法求曲面210xy+− =和22221xyz++=的交线上离原点最近的点。这涉及到约束优化问题，通过引入拉格朗日乘数构造辅助函数，找到满足约束条件且梯度平行的点。 9. **二重积分的计算**：求积分()222 cosd dDIyyxyx y=++，其中积分区域D由不等式22:2+D xyx定义。需要确定积分的边界，然后对x和y进行双重积分。 10. **质量的计算**：已知闭区域由曲面224zxy=−−及22+zxy=所围成，密度为222( , , )x y zxyz=++，要求求质量m。这需要用到三重积分来计算体积的密度积，即m=∫∫∫ρdV。 这些题目覆盖了多元函数微积分的基本概念，如平面方程、偏导数、隐函数微分、切平面、累次积分、梯度、极值点、拉格朗日乘数法、二重积分以及质量的计算，体现了高等数学II课程的核心内容。