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线性代数5-41
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51页
5.3 特征值与特征向量 5.5:设 5.7:设 5.6: 相似矩阵有相同的特征多项式 5.7(哈密顿 5.8:属于 5.8 可进一步推广为: 5.9:设 5.
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线
线
性
性
代
代
数
数
Linear Algebra
Linear Algebra
刘
刘
鹏
鹏
复旦大学通信科学与工程系
复旦大学通信科学与工程系
光华楼东主楼
光华楼东主楼
1109 Tel: 65100226
1109 Tel: 65100226
pliu@fudan.edu.cn
pliu@fudan.edu.cn
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86328780/bg2.jpg)
§
§
5.3
5.3
特征值与特征向量
特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
一、特征值与特征向量的概念
定义
定义
5.5
5.5:
设
设
T
是数域
是数域
P
上线性空间
上线性空间
V
中的一
中的一
个线性变换,
个线性变换,
对于数
对于数
域
域
P
上一个数
上一个数
λ
λ
0
0
,如果存在
,如果存在
一个
一个
非零向量
非零向量
ξ
ξ
,使得
,使得
则
则
称
称
λ
λ
0
0
为
为
T
的一个
的一个
特征值
特征值
,称
,称
ξ
ξ
为属于特征值
为属于特征值
λ
λ
0
0
的一个
的一个
特征向量
特征向量
.
.
ξ
λ
ξ
0
)(
=
T
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86328780/bg3.jpg)
二、特征值与特征向量的求法
二、特征值与特征向量的求法
定义
定义
5.7
5.7:
设
设
A
A
是数域
是数域
P
P
上一个
上一个
n
n
阶矩阵,
阶矩阵,
λ
λ
是
是
一个未知量,矩阵
一个未知量,矩阵
λ
λ
E
E
-
-
A
A
的行列式
的行列式
AE −
λ
0
21
22221
11211
=
−−−
−−−
−−−
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
λ
λ
λ
L
LLLL
L
L
称为
称为
A
A
的
的
特征多项式
特征多项式
(characteristic polynomial)
(characteristic polynomial)
,记为
,记为
AEf −=
λλ
)(
f(
f(
λ
λ
) = 0
) = 0
的根称为
的根称为
A
A
的
的
特征根
特征根
特征根
特征根
即为
即为
A
A
的
的
特征值
特征值
.
.
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86328780/bg4.jpg)
求矩阵特征值与特征向量的步骤
求矩阵特征值与特征向量的步骤
:
:
(
)
;AλE
−
det
计算A的特征多项式 1.
(
)
;即A的全部特征值,
的全部根求特征方程 2.
n
AE
λλλ
λ
,,,
0det
21
L
=−
( )
的特征向量.就是对应于λ非零解,
求齐次方程组,对于特征值λ 3.
i
i
其
0 =− XAE
i
λ
λ
λ
i
i
的
的
特征子空间
特征子空间
是
是
λ
λ
i
i
E
E
-
-
A
A
的
的
零空间
零空间
![](https://csdnimg.cn/release/download_crawler_static/86328780/bg5.jpg)
定理
定理
5.6
5.6:
相似矩阵有相同的特征多项式
相似矩阵有相同的特征多项式
.
.
但是,矩阵
但是,矩阵
特征多项式相同,
特征多项式相同,
不一定相似
不一定相似
:
:
,
10
01
=A
,
10
11
=B
的特征多项式都等于
的特征多项式都等于
(
(
λ
λ
-
-
1
1
)
)
2
2
,
但它们不相似,
但它们不相似,
线性变换的
线性变换的
特征值
特征值
与
与
基
基
的选择
的选择
无关
无关
线性变换的
线性变换的
特征向量
特征向量
也与
也与
基
基
的选择
的选择
无关
无关
.
.
因为与单位阵相似的矩阵只有它本身。
因为与单位阵相似的矩阵只有它本身。
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