线性共轭方向法1

线性共轭方向法是一种优化算法，主要用于求解线性方程组或寻找最小化二次函数的极小值。在给定的描述中，我们关注的是对称正定矩阵 \( A \) 的情况，这样的矩阵在数值分析和优化中常见，因为它们保证了算法的收敛性和稳定性。 我们要解决的问题是找到向量 \( x \)，使得 \( Ax = b \) 或者最小化 \( \frac{1}{2}x^TAx - b^Tx \)。这个目标函数是二次的，并且由于 \( A \) 是对称正定的，所以它有一个唯一的全局最小值。 线性共轭方向法的核心思想是构造一系列相互正交（或共轭）的搜索方向 \( d_k \)，使得在沿着这些方向上的梯度 \( g_k \) 与之前的搜索方向正交。这种正交性由性质 (1.3) 描述，即 \( d_k^TAd_i = 0 \) 对于所有 \( i < k \)。性质 (1.4) 表明，每一步的步长 \( \alpha_k \) 可以通过精确线性搜索确定，使得 \( g_k^Td_k = 0 \)。 算法的步骤如下： 1. 初始化：选取一个起始点 \( x_0 \) 和初始搜索方向 \( d_0 \)，通常满足 \( g_0 = A(x_0 - b) \) 与 \( d_0 \) 非正交，即 \( g_0^Td_0 < 0 \)。设置一个适当的正数 \( e \) 作为终止条件。 2. 迭代过程：对于 \( k = 1, 2, ... \)，执行以下操作： a. 计算步长 \( \alpha_k \) 使得 \( f(x_k + \alpha_k d_k) \) 最小，即 \( \alpha_k = \arg\min_{\alpha} f(x_k + \alpha d_k) \)。 b. 更新点 \( x_k \)：\( x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k \)。 c. 更新梯度 \( g_{k+1} = A(x_{k+1} - b) \)。 d. 计算新的搜索方向 \( d_{k+1} \)，使其与 \( A \) 共轭，即满足 \( d_{k+1}^TAd_i = 0 \) 对所有 \( i \leq k \)。 e. 如果满足停止条件（如 \( \|g_{k+1}\| < e \)），则算法终止；否则，将 \( k \) 增加 1 并返回步骤 a。 线性共轭梯度法是线性共轭方向法的一个特例，它要求所有搜索方向都是 \( A \) 的特征向量，因此 \( d_k \) 是 \( A \) 的特征向量。在这种情况下，我们可以更简洁地表示迭代公式，并且每次迭代都能找到最优的步长 \( \alpha_k \)，使得 \( g_k^Td_k = 0 \) 和 \( d_k^TAd_k = 1 \)。 总结来说，线性共轭方向法和线性共轭梯度法是数值优化中的重要方法，用于解决对称正定矩阵下的线性方程组和二次优化问题。它们通过构建一系列与 \( A \) 共轭的方向来逐步逼近最小值，具有良好的收敛性质。在实际应用中，它们被广泛用于科学计算、机器学习和工程问题的求解。