数学分析3-1(数学类)--期末考试--2015级1

【数学分析3-1期末考试】的题目涵盖了多个数学分析中的核心知识点，主要涉及极限、微分中值定理、区间套定理、一致连续性、致密性定理以及微分学中的特殊性质。以下是这些知识点的详细解析： 1. **极限计算**： - (1) $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{\pi^2 - \arctan x}{1 \cdot \ln x}\right)$：这是一道涉及无穷大与无穷小关系的极限问题，可以通过洛必达法则或者利用$\arctan x$在$x \to \infty$时的渐近行为来解决。 - (2) $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(\sin x)}{x^4}$：由于$f(x)$连续可导且$f'(0) = 0$，我们可以考虑应用泰勒公式，尤其是洛必达法则和$f''(0)$的信息，来求解这个混合类型的极限。 2. **微分中值定理**： - 证明：在区间$[0, 2]$上，存在一个$\xi \in [0, 2]$使得$|f'''(\xi)| \leq \sqrt{3}$。这是罗尔定理、拉格朗日中值定理或柯西中值定理的变种，利用$f(0) = f(2)$和$f(x)$三次可微，可以推导出$|f'''|$的上界。 3. **区间套定理与确界原理**： - 区间套定理是实分析的基础，它保证了非空开区间套的交集非空。通过构造适当的区间套，可以证明任何有界的数列都有确界，从而得出确界原理。 4. **一致连续性**： - 判断$f(x) = \frac{3x^2 \ln x}{x + 1}$在$(0, +\infty)$上是否一致连续。一致连续性意味着对于任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对所有$x, y$满足$|x - y| < \delta$时，都有$|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。这里可以结合洛必达法则和$x$的限制来分析。 5. **致密性定理与有界定理**： - 致密性定理指出，在闭区间上，如果函数序列的每项都是连续的，那么其极限也是连续的。这可以用来证明闭区间上连续函数的有界定理，即闭区间上连续函数的最值一定在区间内取到。 6. **微分学中的特殊性质**： - 对于$f(x)$在$[0, 1]$上可微且$f(0) = 0$，$f(x) \neq 0$对所有$x \in (0, 1)$成立的条件下，可以应用中值定理来证明存在某个序列$\{\xi_n\}$，满足$n f'(\xi_n) f(\xi_n) = \frac{f'(1-\xi_n) f(1-\xi_n)}{1}$。这通常涉及到函数的比例性质和微分的乘积规则。 以上各题目的解答都需要深入理解并熟练运用数学分析中的基本概念和定理，它们是学习数学分析过程中的重要组成部分。在实际解题时，需灵活运用这些理论，结合具体条件进行分析和推理。