Euler-Lagrange方程1
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2022-08-08
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( ) ( ) ( )
, ,
J
I u L t u t u t dt
æ ö
=
ç ÷
è ø
ò
g
对于黎曼积分，根据数学分析定理 20.7 有积分的导数等于导数的积分
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
1
, lim
|
, , , ,
i i
J
i
N
i
u p
J
i
I u I u I u
L
dt
L t u t u t t L t u t u t t dt
e
e
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e
e
j j
* * *
®
=
* *
=
= + -
¶
=
¶
æ ö
æ ö æ ö
= +
ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
è ø
ò
å
ò
g g g
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0 0
0
, , = , , | , ,
, ,
i i i
i
t t
i
i i t
t
u u u
J t J t
t
i
u
J t
L t u t u t t dt L t u s u s ds t L t u s u s ds t dt
L t u s u s ds t dt
j j j
j
* * *
* * *
*
*
æ ö
æ ö æ ö æ ö
-
ç ÷
ç ÷ ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø è ø è ø
è ø
æ ö
= -
ç ÷
è ø
ò ò òò
òò
g g g g
g g
因此有
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
1
, , , , ,
, , , , 0
i i
i i
t
i
N
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J
i
t
t
i
N
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t
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L t u s u s ds L t u t u t t dt
d j j
j
*
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æ ö
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ç ÷
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ç ÷
è ø
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å
ò ò
å
ò ò
g g g
g g g
将
e
改变符号，等式左边变号，因此有
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1
, , , , =0
i i
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i
N
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i
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L t u s u s ds L t u t u t t dt
j
*
* *
=
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æ ö
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-
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ç ÷
ç ÷
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è ø
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g g g
多重积分
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 1
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n
x x
N N
x x
x
x x
x x
j
j j
j j
Ñ
é ù
¶ ¶
ê ú
=
ê ú
ê ú
¶ ¶
ë û
L
M O M
L
拉格朗日函数 L 的第三个参数是一个矩阵。
王向庄
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