1999 年全国硕士研究生入学统一考试
理工数学二试题详解及评析
一、填空题
（1） 曲线
sin 2
cos2
t
t
x
et
ye t
⎧
=
⎨
=
⎩
在点
()
0,1 处的法线方程为 .
【答】 210yx+−=
【详解】 根据参数方程的求导公式，有
cos sin
,
sin 2 2 cos2
tt
tt
dy e t e t
yx e t e t
−
=
+
与
0, 0xy==对应 0t
=
，
故
0
1
1
2
|
x
y
dy
dx
=
=
= ，从而在点
()
0,1 处的法线的斜率为-2，法线方程为
()
12 0,yx−=− −
即
210yx+−=
（2）设函数
()
yyx= 由方程
()
23
ln sin
x
yxy x+= + 确定，则
0
|
x
dy
dx
=
=
.
【答】 1.
【详解】 方程两边同时对
x
求导，视 y 为
x
的函数，得
'
23'
2
2
3cos
xy
x
yxy x
xy
+
=++
+
由原方程知，
0x = 时 1y = ，代入上式，得
'
00
1.
||
xx
dy
y
dx
==
==
（3）
2
5
613
x
dx
xx
+
=
−+
∫
.
【答】
()
2
13
ln 6 13 4arctan .
22
x
x
xC
−
−+ + +
【详解】
(
)
()
2
222
2
613
51 8
613 2 613 613
13
ln 6 13 4arctan .
22
dx x
x
dx
xx xx xx
x
x
xC
−+
+
=+
−+ −+ −+
−
=−++ +
∫∫∫
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
前往页