2005 年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线
12
2
+
=
x
x
y 的斜渐近线方程为
.
4
1
2
1
−= xy
【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】 因为 a=
2
1
2
lim
)(
lim
2
2
=
+
=
∞→∞→
x
x
x
x
xf
xx
，
[]
4
1
)12(2
lim)(lim −=
+
−
=−=
∞→∞→
x
x
axxfb
xx
，
于是所求斜渐近线方程为
.
4
1
2
1
−= xy
【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这
里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当
∞→
x
时，极限
x
xf
a
x
)(
lim
∞→
=
不存在，则应进一步讨论
+
∞→
x
或
−
∞→
x
的情形，即在右或左侧是否存
在斜渐近线。
完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例 7.32】
（2） 微分方程 满足
xxyyx ln2 =+
′
9
1
)1( −=y
的解为
.
9
1
ln
3
1
xxxy −=
.
【分析】直接套用一阶线性微分方程
)()( xQyxPy
=
+
′
的通解公式：
，
∫
+
∫∫
=
−
])([
)()(
CdxexQey
dxxPdxxP
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】 原方程等价为
xy
x
y ln
2
=+
′
，
于是通解为
∫∫
+⋅=+
∫
⋅
∫
=
−
]ln[
1
]ln[
2
2
22
Cxdxx
x
Cdxexey
dx
x
dx
x
=
2
1
9
1
ln
3
1
x
Cxxx +−
，
由
9
1
)1( −=y
得 C=0，故所求解为
.
9
1
ln
3
1
xxxy −=
【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也
可如下求解：原方程可化为
，即 ，两边积分得
xxxyyx ln2
22
=+
′
xxyx ln][
22
=
′
1
