【知识点梳理】
1. **三角恒等变换**：题目中的函数 f(x) = sin(2x + α) 展示了三角函数的相位变换，其中 α 代表相位角，这种变换通常用来调整函数图像的位置。三角恒等变换包括同角三角函数关系、和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等，这些在解决三角函数问题时非常关键。
2. **三角函数的极值**：函数在 x = π/12 时有极大值，意味着 2x + α = kπ + π/2 对应的 x 值为 π/12，通过解这个等式可以找到 α 的值。
3. **奇函数性质**：f(x - β) 为奇函数意味着 f(-x - β) = -f(x - β)，利用这个性质可以确定 β 的值。
4. **特殊角的三角函数值**：例如 sin 15°、cos 75°、sin 105° 等，它们可以通过特殊角的三角函数关系或和差化积公式来求解。
5. **等腰三角形性质**：等腰三角形底角相等，结合正弦函数可以推导顶角的正弦值。
6. **正切的和差公式**：tan β 的值可以通过 tan α 和 tan (α - β) 的和差公式求解。
7. **向量的坐标表示与向量运算**：向量 a→ 和 b→ 的坐标表示，以及它们的垂直关系可以转化为坐标形式的等式，进一步求解 tan(α - π/4)。
8. **两角和的余弦公式**：sin α 和 cos β 的组合可以通过两角和的余弦公式来处理，求解 α + β 的值。
9. **正弦函数的方程**：解三角方程需要运用三角函数的基本性质和反函数。
10. **三角不等式**：cos Acos B > sin Asin B 可以转换成 cos(A + B) > 0，从而推断三角形的角度性质。
11. **三角函数的和差化积**：填空题通常涉及三角函数的计算，这需要使用和差化积的公式。
12. **三角函数最值**：找出函数在指定区间内的最小值，可能需要应用周期性、对称性和单调性。
13. **正切的二倍角公式**：tan2α 的值可以通过正切的二倍角公式来计算。
14. **正弦定理**：在三角形中，边长和角度的关系可以通过正弦定理来求解。
15. **辅助角公式**：2sin2 π/12 - 1 可能需要通过辅助角公式简化计算。
16. **向量的数量积与三角函数的综合应用**：这部分涉及到向量的数量积运算和三角函数的周期性。
17. **二倍角公式与三角函数的最值**：利用二倍角公式以及三角函数在特定区间内的单调性求解函数的最值。
18. **立方和的三角恒等式**：证明两个立方项的乘积可以转换成余弦的三次幂。
19. **余弦定理**：利用余弦定理求解三角形的内角，并通过面积公式求|b - c|的值。
20. **三角函数的对称性与最值**：根据函数图像的对称性和最值，求解 ω 的值，并应用三角函数关系解三角形问题。
这些知识点涵盖了高中数学中三角函数的重要概念和解题方法，包括三角恒等变换、三角函数的极值与奇偶性、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、向量运算、三角函数的方程和不等式、最值问题、正弦定理和余弦定理、三角函数的周期性和对称性等。掌握这些内容对于理解和解决高中数学中三角函数相关的问题至关重要。
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