动态规划经典教程

### 动态规划经典教程详解 #### 引言 动态规划是一种重要的算法设计技术，广泛应用于计算机科学领域，特别是优化问题的求解方面。本文基于一份资料提供的内容，旨在深入探讨动态规划的基本概念、适用范围及其解决问题的一般思路，并通过具体的分类讨论来加深读者的理解。 #### 第一节 动态规划基本概念 **一、动态规划三要素** 1. **阶段**：可以将求解过程视为工厂的生产线，其中的每一个环节即为“阶段”。例如，在生产雪糕的过程中，购买原材料、加工、包装等均可被视为不同的阶段。 2. **状态**：在动态规划中，“状态”代表了问题解决过程中的中间结果。继续以雪糕为例，初始状态可能仅仅是液态的牛奶，随着加工过程的推进，状态变为半成品直至最终产品。 3. **决策**：为了从一个状态转移到另一个状态所采取的动作被称为“决策”。如雪糕生产的“冰冻”步骤，就是将液态的牛奶转变为固态雪糕的一个决策。 **状态转移与状态转移方程**： 状态转移是指从一个状态通过执行某个决策到达另一个状态的过程。而状态转移方程则是用来描述这种状态之间转换规则的数学表达式。 **二、动态规划的适用范围** 1. **最优化原理**：即一个全局最优解包含其所有子问题的最优解。这是动态规划能够成功应用的前提之一。 2. **无后效性**：这意味着在某个阶段做出的决策不会受到先前阶段决策的影响。具体来说，就是当前状态完全取决于之前的状态，而不依赖于更早状态的细节。 #### 三、动态规划解决问题的一般思路 1. **模型匹配法**：首先尝试识别问题是否能映射到已知的经典动态规划模型。这种方法适用于那些可以直接套用已有模型的问题。 2. **三要素法**： - **先确定阶段**：例如，在数塔问题中，可以根据层数划分阶段。 - **先确定状态**：大多数问题都是从定义状态入手。 - **先确定决策**：例如背包问题，决策通常涉及选择哪些物品放入背包。 3. **寻找规律法**：通过对实例数据的观察，寻找规律并试图将其归纳成通用的解决方案。 4. **边界条件法**：确定问题的边界条件，以及它们与其他状态之间的关系。 5. **放宽约束和增加约束**：通过调整问题中的限制条件，使得问题更容易理解和解决。 #### 第二节 动态规划分类讨论 本节将通过具体的例子来进一步说明动态规划的应用场景。 **1. 状态是一维的** **1.1 下降/非降子序列问题**： **问题描述**：给定一个无序序列 \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\)，找到最长的子序列，使得子序列中的元素按顺序递增或递减排列。 **问题分析**：假设已经找到了前 \(i-1\) 个数中的最长递增子序列，那么可以通过检查当前第 \(i\) 个数是否可以加入这个序列来更新结果。具体来说，如果第 \(i\) 个数大于序列中的最后一个数，则可以将其加入序列；否则，需要查找序列中第一个大于等于该数的位置，并替换它。这种方法确保了局部最优解也是全局最优解的一部分，因此满足动态规划的最优化原理。 通过上述分析，我们可以定义一个状态数组 \(opt[i]\)，表示以第 \(i\) 个数结尾的最长递增子序列的长度。接下来，我们可以通过迭代的方式填充这个数组，直到找到最终的解。 以上是动态规划基本概念及其应用的简要概述。通过理解和掌握这些核心概念，可以更加灵活地应用动态规划解决实际问题。