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自动化车床管理的最优解决方案.docx
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1
自动化车床管理的最优解决方案
摘要
本文解决的是自动化车床管理中检查间隔和刀具更换策略的最优化问题,我
们对题目中所给数据用 Excel 进行了统计分析,并通过卡方
2
�
拟合检验法进一
步验证出现故障时生产的零件数服从
2
~ (600,196.629 )x N
正态分布,为此我们分
别对以下三个问题建立概率模型来求解。
对于问题一:该问题属于优化问题中的概率数理统计问题,通过 Excel 对表
格中的数据进行数据统计分析,我们发现故障发生时所完成的零件数符合正态分
布,因此我们建立连续型随机事件模型并用 MATLAB 解出每个零件损失费用最
小值为
( )
m in 4.6096E s = 元
359m= 件
18n = 件
,即换刀次数为 359 件,检查间
隔为 18 件时为最优策略。
对于问题二:分析得刀具故障符合正态分布概率密度曲线,因此可以建立一
个随机模型。在一个换刀周期内要么每次抽到合格品,要么换刀之前抽到次品。
每次抽到合格品又可以分两种情况,即工序正常时抽到 98%的合格品和工序故障
时抽到 40%的合格品;换刀前抽到次品又可分为两种情况,即工序故障时抽到 60%
不合格品和工序正常时抽到 2%不合格品。我们把工序正常时抽到 2%不合格品整
合到前三种情况中,最后通过 MATLAB 求得最优解,即损失费用
( )
min 9.561E s = 元
287m = 件
72n = 件
。当换刀次数为 287 件,检查间隔为 72 件时获得最好的效
益。
对于问题三:在第二问的基础上,我们将检查策略改为:若抽到正品则认为
机器正常,抽到次品则连续抽查两次,可以减小每个零件损失的期望值。
最后,分别对模型一,模型二对样本均值与样本方差以及概率方面进行灵敏
度分析,并比较了这些量的改变对每个零件损失期望值的影响。
关键词: 正态分布 概率模型 数理统计 灵敏度分析
2
1.问题的重述
1.1 自动化车床管理的现状
目前中国机床产业仅仅在规模方面具有相对比较优势,与机床制造强国相比,
在结构、水平、研发和服务能力等方面都还存在明显的差距。但有些行业如铁路、
航空、能源等行业对机床依然有较大需求,尤其是汽车制造行业开始回升。随着
制造业市场需求的变化、产品升级需求的释放、“振兴规划”和“重大专项”政
策的出台,产品结构在不断优化,机床行业将出现结构性复苏机会。
1.2 本文需要解决的问题
一道工序用自动化车床连续加工某种零件,由于刀具损坏等原因该工序会出
现故障,其中刀具损坏故障占 95%, 其它故障仅占 5%。工序出现故障是完全随机
的, 假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确
定工序是否出现故障。现积累有 100 次刀具故障记录,故障出现时该刀具完成的
零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。
已知生产工序的费用参数如下:
故障时产出的零件损失费用 f=200 元/件;
进行检查的费用 t=10 元/次;
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用 d=3000 元/次(包括刀具费);
未发现故障时更换一把新刀具的费用 k=1000 元/次。
1)假定工序故障时产出的零件均为不合格品,正常时产出的零件均为合格品,
试对该工序设计效益最好的检查间隔(生产多少零件检查一次)和刀具更换策略。
2)如果该工序正常时产出的零件不全是合格品,有 2%为不合格品;而工序
故障时产出的零件有 40%为合格品,60%为不合格品。工序正常而误认有故障停
机产生的损失费用为 1500 元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换
策略。
3)在 2)的情况, 可否改进检查方式获得更高的效益。
附:100 次刀具故障记录(完成的零件数)
459
362
624
542
509
584
433
748
815
505
612
452
434
982
640
742
565
706
593
680
926
653
164
487
734
608
428
1153
593
844
527
552
513
781
474
388
824
538
862
659
775
859
755
649
697
515
628
954
771
609
402
960
885
610
292
837
473
677
358
638
699
634
555
570
84
416
606
1062
484
120
447
654
564
339
280
246
687
539
790
581
621
724
531
512
577
496
468
499
544
645
764
558
378
765
666
763
217
715
310
851
3
2.模型的假设与符号说明
2.2 模型的假设
假设一:工序出现故障是完全随机的,假定在生产任何一零件时出现故障的机会
均相等。
假设二:由于刀具损坏故障比率较大,则忽略其它故障对计算结果的影响。
假设三:更换刀具和发现故障进行调节使恢复正常使用,这两者都看做一个周期,
之后又是另外一个周期的开始。
假设四:题中所给的数据都是通过实验论证,正确合理并且没有错误。
假设五:对于某一个刀具的寿命可以近似用该点的概率密度表示。
假设六:因误判而停机只有误判停机损失费,它的一个周期没有结束。
2.2 符号说明
符号
符号说明
f
故障时产出的零件损失费用
t
进行检查的费用
d
发现故障进行调节使恢复正常的平均费用
k
未发现故障时更换一把新刀的费用
c
工序正常而误认有故障停机产生的损失费用
( )
1
P x
刀具损坏故障的概率密度函数
i
p
第
i
种情况该事件发生的概率
( )
E s
每个零件损失费用的期望值
( )
E w
一个周期内损失费用的期望总和
( )
i
E w
第
i
种情况损失费用的期望和
( )
E n
一个周期内生产合格零件的期望值
( )
i
E n
第
i
种情况生产合格零件的期望值
i
w
第
i
种情况损失的费用
i
n
第
i
种情况生产的合格零件数
m
每生产
m
个零件换一次刀具即换刀周期
4
n
每生产
n
个零件检查一次
'
n
换刀前出现故障时生产的合格零件数
B
=
m
B
n
é ù
ê ú
ë û
一次换刀周期的检查次数
a
工序出现故障时产出不合格品的概率
b
工序正常时产出合格品的概率
3.数据的分析与假设检验
通过对 100 次刀具故障记录的完成零件数观察研究及用 Excel 处理验证,可
以估计刀具故障分布函数,其服从正态分布
2
~ ( , )x N
m d
,根据记录数据求出了
100 100
2 2
1 1
1 1
600, ( ) 38663.03
100 100
i i
i i
x x x x
m d
= =
= = = = - =
å å
,则有
2
2
( )
2
1
( )
2
x
f x e
m
d
pd
-
-
=
发现这 100 次刀具故障时完成的零件数近似服从
2
~ (600,196.629 )x N
的正态分
布。
我们就大胆的假设这 100 次刀具故障数据近似服从正态分布,再用卡方
2
�
拟合检验法来进一步验证。我们用
n
pin
fi
k
i
��
�
�
�
1
2
2
�
来作为检验统计量。
我们假设刀具使用寿命近似服从
2
~ (600,196.629 )x N
的正态分布,
0
H
:表示总体
X
的分布函数是
( )f x
;
1
H
:表示总体
X
的分布函数不是
( )f x
;
2
2
2
3
6
10
14
16
14
9
9
7
1
3
1
1
0
5
10
15
20
117
184
251
318
385
451
518
585
652
719
786
853
920
987
1054
1120
6SQ.Net
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
频数 正态概率
5
若
� �
1
22
��� rk
�
��
,则
0
H
成立,即假设成立;若
� �
1
22
��� rk
�
��
,则
1
H
成立,即假设不成立;分析题中所给数据可以知道:
X
的最小值为 84,最大值
为 1153,我们可以把这 110 个数据从 83.5 到 1153.5 分成 10 组,每组间隔
107��
,用 Excel 画出频数直方图如上。
数出落在每个小区间的数据频数
fi
,算出
� �
10,2,1,100/ ,��� innfi
,
�
pi
,
�
pin
,
�
pinfi /
2
得到如下表所示:
卡方分布检验正态分布表格
组限
iA
频数
fi
频率
nfi /
�
pi
�
pin
�
pinfi /
2
83.5-190.5
3
0.03
0.0145
190.5-297.5
4
0.04
0.0430
5.75
8.52
297.5-404.5
7
0.07
0.0969
9.69
5.06
404.5-511.5
16
0.16
0.1641
16.41
15.6
511.5-618.5
25
0.25
0.2131
21.31
29.33
618.5-725.5
20
0.20
0.1998
19.98
20.02
725.5-832.5
13
0.13
0.1433
14.33
11.79
832.5-939.5
7
0.07
0.0783
7.83
6.26
939.5-1046.5
3
0.03
0.0308
1046.5-1153.5
2
0.02
0.0162
4.7
5.32
�
100
1
1
100
101. 9
其中
( )
( )
2
2
600
2 196.629
1
2 196.62
x
fi x
e
p
-
Ù
-
´
=
´
计算得:
n
pin
fi
k
i
��
�
�
�
1
2
2
�
=1. 9
通常我们取
05.0�
�
,则
� � � � � �
������� 51281
2
05.0
2
05.005.0
���
rk
11.071
故有
2
�
<
� �
1-r-k
2
�
�
,因此在水平 0.05 下我们接受
0
H
,即总体 X 的正态
分布函数
( )
( )
2
2
600
2 196.629
1
2 196.62
e
x
f x
p
-
-
´
=
´
。
由此我们得出刀具寿命 X 服从正态分布。
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