工程数学中的线性代数是数学的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、行列式以及它们之间的关系。第一章“矩阵和行列式”是线性代数的基础，涉及到的知识点广泛而基础，对于理解和应用线性代数至关重要。
1. 矩阵与运算：矩阵是由有序数对构成的矩形数组，可以进行加法、减法和标量乘法等基本运算。矩阵乘法不是交换的，即AB不一定等于BA，这在解线性方程组、处理线性变换时有重要意义。
2. 单项选择题：题目中出现的选择题主要考察矩阵的基本性质和行列式的概念。例如，对称矩阵的乘积不一定是对称的，因为矩阵乘法不满足交换律；上（下）三角矩阵的可逆性与其主对角线元素不全为零有关，这是矩阵可逆的充分必要条件之一。
3. 行列式：行列式是一个特殊的数值，可以由矩阵的行或列元素计算得出。它反映了矩阵的某些特性，如矩阵是否可逆、矩阵的秩等。行列式的值为零表示矩阵不可逆，非零则可能表示矩阵有逆。
4. 矩阵的逆：如果一个矩阵A可逆，那么存在另一个矩阵A^-1，使得AA^-1 = A^-1A = E（单位矩阵），这是线性方程组有唯一解的关键。
5. 方阵与行列式的关系：对于n阶方阵，其行列式的值为零意味着该方阵没有逆矩阵，即对应的线性方程组要么无解，要么有无穷多解。
6. 矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中非零子式的最高阶数，反映了矩阵列向量或行向量的线性相关性。若矩阵的秩等于其行数或列数，则矩阵满秩，反之则不满秩。
7. 矩阵的特征值与特征向量：每个n阶方阵都有n个特征值，特征向量是与这些特征值相对应的向量。特征值和特征向量的计算有助于理解矩阵的几何和代数性质。
8. 线性相关与线性无关：一组向量线性相关意味着可以由其中一部分向量通过线性组合表示，反之则称为线性无关。线性无关的向量组在解决线性方程组问题时具有更简洁的表达。
9. 矩阵的相似：两个矩阵如果可以通过对方阵乘以可逆矩阵的左、右两边得到，那么它们是相似的。相似矩阵有许多相同的性质，如特征值相同，对角化后得到的对角矩阵相同等。
10. 系数矩阵与增广矩阵：在解线性方程组时，系数矩阵包含未知数系数，增广矩阵则是系数矩阵与常数项的并置，用于简化求解过程。
11. 行简化的高斯消元法：这是求解线性方程组的常用方法，通过行变换将矩阵转化为阶梯形或最简行阶梯形，从而求得解。
12. 基础解系与通解：线性方程组的解可以表示为基解系的线性组合，基解系是线性无关的解向量集合，通解是所有可能解的集合。
13. 正交矩阵：正交矩阵的每一列（行）都是单位向量，并且矩阵的转置等于它的逆。正交矩阵在物理、工程等领域中有广泛应用。
以上就是“工程数学-线性代数第一章矩阵和行列式同步综合练习”中涉及的一些关键知识点。通过这些练习，学生可以巩固对矩阵运算、行列式、线性方程组等相关概念的理解，提高解决实际问题的能力。
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