复数是数学中的一个重要概念，尤其在高中数学和高考备考中占据着不可或缺的地位。复数不仅涉及基础的代数运算，还在解决实际问题和高级数学领域有着广泛的应用。本资料"北京市高考数学总复习 考点专项汇总 专题十五 复数理(扫描版) 试题.doc"集中了2011年至2013年北京市高考数学复习中的复数考点，旨在帮助考生系统性地理解和掌握这一专题。
复数的基本构成包括实部和虚部，通常形式为a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i² = -1。在处理复数时，我们遵循与实数相同的加减乘除法则，但需要注意虚部的乘法规则。
1. **复数的加减法**：两个复数相加或相减，只需将它们的实部和虚部分别相加减即可。例如，(3 + 2i) + (1 - i) = 4 + i。
2. **复数的乘法**：根据分配律，两个复数相乘需要展开为四个项，利用i² = -1简化。例如，(2 + 3i) × (4 - 5i) = 8 - 10i + 12i - 15i² = 8 - 10i + 12i + 15 = 23 + 2i。
3. **复数的除法**：使用共轭复数来消除虚部。例如，(3 + 2i) ÷ (1 - i) = (3 + 2i)(1 + i) ÷ (1 - i)(1 + i) = (3 + 3i + 2i - 2) ÷ 2 = (1 + 5i) ÷ 2 = 0.5 + 2.5i。
4. **复数的模和幅角**：复数z = a + bi的模长（或绝对值）是|z| = √(a² + b²)，表示复数在复平面上的长度；幅角θ是arg(z) = arctan(b/a)，表示从正实轴到复数在复平面上的向量所转过的角度。
5. **共轭复数**：如果z = a + bi，则它的共轭复数是a - bi。共轭复数在实数乘法、除法和求模长时发挥关键作用。
6. **复数的极坐标表示**：复数也可以用极坐标(r, θ)表示，即z = r(cosθ + isinθ)，其中r是模长，θ是幅角。
7. **复数的运算性质**：复数的幂运算涉及到欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ。例如，(a + bi)² = a² - b² + 2abi，这可以通过展开并应用i² = -1得到。
8. **复数的几何意义**：在复平面上，每个复数对应一个点，实部决定了点沿x轴的位置，虚部决定了沿y轴的位置。复数的加减对应点的平移，乘法对应点的旋转和缩放。
9. **复数的应用**：复数在电力工程、信号处理、物理学（如波动方程的解）以及工程计算中都有广泛应用。
通过这份北京市高考数学总复习资料，考生可以全面回顾和巩固复数的相关知识，包括基本概念、运算规则、几何意义以及应用，以提升解题能力和应试水平。在复习过程中，考生应结合例题和历年真题进行练习，理解并熟练运用复数的各个知识点，从而在高考中取得理想的成绩。
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