数值方法牛顿迭代法程序

### 数值方法之牛顿迭代法程序解析 #### 一、引言 牛顿迭代法是一种在数值分析中广泛使用的求解非线性方程根的方法。它利用函数的导数来逐步逼近方程的根，具有快速收敛的特点。本文将通过对给定的C++程序进行解析，详细介绍牛顿迭代法的原理及其应用。 #### 二、牛顿迭代法基本原理 牛顿迭代法基于函数的泰勒展开，其核心思想是通过当前点的切线与x轴的交点作为下一个近似点，逐步逼近方程的根。对于方程 \( f(x) = 0 \)，若已知初始近似值 \( x_0 \)，则第 \( n+1 \) 次迭代的公式为： \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] 其中，\( f'(x_n) \) 表示 \( f(x) \) 在 \( x_n \) 处的导数。 #### 三、程序解析 ##### 1. 函数定义 程序中定义了一个名为 `newtun` 的函数，该函数接受三个参数：`a1`, `b1`, `e1`，分别代表区间左端点、右端点以及允许的误差范围。 ```cpp void newtun(double a1, double b1, double e1) ``` ##### 2. 变量声明 - `double m`: 迭代过程中当前的近似值。 - `double p`: 下一次迭代的近似值。 - `int c`: 迭代次数。 - `int l`: 控制迭代是否继续的标志位。 ```cpp doublen, p, m, c = 1, l = 1; ``` ##### 3. 迭代过程 循环条件由 `l != 0` 控制，表示只要 `l` 不为0，则继续迭代。 ```cpp while (l != 0) ``` 每次迭代计算新的近似值 `p`： - 使用了公式 \( p = m + \frac{1}{3}(1 - \frac{(m^3 - m - 1)}{(3m^2 - 1)}) \) 来更新近似值 `p`。 - 这里的公式实际上是对标准牛顿迭代公式的变形，其中 \( f(x) = x^3 - x - 1 \)，\( f'(x) = 3x^2 - 1 \)。 ```cpp p = pow(m + 1, 1.0 / 3.0) - (pow(m, 3.0) - m - 1) / (3 * pow(m, 2.0) - 1); ``` 如果新近似值 `p` 超出了给定的区间，则终止迭代并输出错误提示。 ```cpp if (p < a1 || p > b1) { cout << "超出区间！" << endl; l = 0; n = 0; } ``` 否则检查新近似值 `p` 与旧近似值 `m` 之间的差是否小于给定的误差范围 `e1`，如果不满足，则更新近似值 `m` 并增加迭代计数器 `c`；如果满足，则停止迭代。 ```cpp else if (fabs(p - m) > e1) { m = p; c++; } else { l = 0; } ``` 最后输出迭代次数和最终的近似根。 ```cpp cout << "迭代次数为：" << c << endl << "近似根为：" << p << endl; ``` #### 四、主函数 `main` 主函数用于获取用户输入的区间端点和误差范围，并调用 `newtun` 函数。 ```cpp void main() { double a, b, e; cout << "请输入区间端点a,b和误差范围e(默认为0.001)：" << endl; cin >> a >> b >> e; newtun(a, b, e); } ``` #### 五、总结 牛顿迭代法是一种高效的求解非线性方程根的方法。本程序实现了一个简单的牛顿迭代法求解方程 \( x^3 - x - 1 = 0 \) 在给定区间 [1,2] 内的根。通过调整初始区间和误差范围，可以解决不同类型的非线性方程问题。牛顿迭代法的快速收敛特性使其在实际应用中非常有用，尤其是在科学计算和工程领域。