淮海工学院 计算机工程学院 实验报告 数值分析 牛顿迭代法

### 淮海工学院计算机工程学院实验报告 #### 数值分析：牛顿迭代法 **实验内容或题目** 本实验旨在通过编程实践牛顿迭代法，以求解特定方程的根。 **目的与要求** 1. **理解和掌握牛顿迭代法的基本原理与算法实现**：通过编程实践，加深对牛顿迭代法理论的理解，掌握其核心思想及应用条件。 2. **体会牛顿迭代法的特点**：通过实际操作和计算，了解牛顿迭代法在求解非线性方程时的优势与局限性，特别是对于某些类型的方程能够快速收敛的特点。 3. **提高编程能力**：通过编写和调试代码，增强解决实际问题的能力，提升编程技巧。 **实验步骤与源程序** 该实验采用C语言编程，使用牛顿迭代法求解方程 \( x \cdot e^x - 1 = 0 \) 的根。具体实现过程如下： ```c #include<stdio.h> #include<math.h> #define N 100 #define eps 1e-6 #define eta 1e-8 // 定义牛顿迭代法函数 float Newton(float (*f)(float), float (*f1)(float), float x0) { float x1, d; int k = 0; do { x1 = x0 - (*f)(x0) / (*f1)(x0); if (k++ > N || fabs((*f1)(x1)) < eps) { printf("\nNewton迭代发散"); break; } d = fabs(x1) < 1 ? x1 - x0 : (x1 - x0) / x1; x0 = x1; printf("x(%d)=%f\t", k, x0); } while (fabs(d) > eps && fabs((*f)(x1)) > eta); return x1; } // 定义目标方程 float f(float x) { return x * exp(x) - 1; } // 定义目标方程的一阶导数 float f1(float x) { return exp(x) + x * exp(x); } int main() { float x0, y0; printf("请输入迭代初值x0\n"); scanf("%f", &x0); printf("x(0)=%f\n", x0); y0 = Newton(f, f1, x0); printf("方程的根为:%f\n", y0); return 0; } ``` **测试数据与实验结果** 为了验证程序的正确性，可以输入不同的初始值 `x0` 来观察收敛情况。例如，当 `x0 = 0.5` 时，程序将输出迭代过程中的各步结果以及最终的近似根。 **结果分析与实验体会** 1. **编程体验**：首次尝试将数学方法转化为程序，发现程序设计完成后，可以像一个软件工具一样使用，方便快捷地解决相同类型的问题，极大地提高了效率。 2. **算法理解**：通过编程实践，更加深刻地理解了牛顿迭代法的工作原理及其适用范围。尤其是当选择合适的初始值时，该方法能快速收敛到方程的根，这为解决复杂的非线性方程提供了有效途径。 3. **局限性认识**：同时，也意识到了牛顿迭代法的局限性，如对于某些初始值的选择可能导致算法不收敛或发散的情况。因此，在实际应用中需谨慎选择初始值，并考虑多种求根方法以提高解决问题的成功率。 本次实验不仅增强了编程能力，而且加深了对数值分析中牛顿迭代法的理解与应用，为今后的学习和研究打下了坚实的基础。