算法设计与分析基础 习题参考答案
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2008-10-31
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习题 1.1
5..证明等式 gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每一对正整数 m,n 都成立.
Hint:
根据除法的定义不难证明:
如果 d 整除 u 和 v, 那么 d 一定能整除 u±v;
如果 d 整除 u,那么 d 也能够整除 u 的任何整数倍 ku.
对于任意一对正整数 m,n,若 d 能整除 m 和 n,那么 d 一定能整除 n 和 r=m
mod n=m-qn；显然，若 d 能整除 n 和 r，也一定能整除 m=r+qn 和 n。
数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括了最大公约数。
故 gcd(m,n)=gcd(n,r)
6.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理
这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?
Hint:
对于任何形如 0<=m<n 的一对数字,Euclid 算法在第一次叠代时交换 m 和 n, 即
gcd(m,n)=gcd(n,m)
并且这种交换处理只发生一次.
7.a.对于所有 1≤m,n≤10 的输入, Euclid 算法最少要做几次除法?(1 次)
b. 对于所有 1≤m,n≤10 的输入, Euclid 算法最多要做几次除法?(5 次)
gcd(5,8)
习题 1.2
1.(农夫过河)
P—农夫 W—狼 G—山羊 C—白菜
2.(过桥问题)
1,2,5,10---分别代表 4 个人, f—手电筒
4. 对于任意实系数 a,b,c, 某个算法能求方程 ax^2+bx+c=0 的实根,写出上述算法的伪代
码(可以假设 sqrt(x)是求平方根的函数)
算法 Quadratic(a,b,c)
//求方程 ax^2+bx+c=0 的实根的算法
//输入:实系数 a,b,c
//输出:实根或者无解信息
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