复变函数是数学中一个重要的分支，主要研究复数及其函数。复数是包含实数和虚数的数学对象，其基本概念包括实部、虚部、模和辐角。
在复数域中，每个复数可以表示为 \( z = x + iy \)，其中 \( x \) 是实部，\( y \) 是虚部，\( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。复数的相等定义为实部和虚部分别相等。如果虚部为0，复数被视为实数；若实部为0且虚部不为0，则为虚数；若实部和虚部都为0，复数就是0。复数的四则运算遵循特定的规则，确保了复数域的封闭性。
复平面是复数的一种图形表示，其中每个复数对应平面内的一个点，实轴代表实数，虚轴代表虚数。复数的模（或绝对值）定义为 \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)，表示复数到原点的距离。复数的辐角（或相位角）\( \arg(z) \) 是复数向量与正实轴之间的角度，通常用反余切函数表示，即 \( \arg(z) = \arctan(\frac{y}{x}) \)。对于非零复数，辐角有无限多个可能值，但主值（或主辐角）是这些值中满足特定条件的一个，通常在 \([0, 2\pi)\) 范围内。
复数的三角表示形式为 \( z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) \)，其中 \( r = |z| \) 是模，\( \theta = \arg(z) \) 是主辐角。这种表示使得复数的加法和乘法具有几何直观性，例如两个复数的和相当于两个向量的矢量和，乘积相当于旋转和缩放。
在复数的运算中，有一些重要的性质，如模的运算性质：加法下模的三角不等式，乘法下的模的乘法公式，以及除法下模的商的模等于模的商。此外，复数的乘幂和方根可以通过棣莫弗公式 \( z^n = |z|^n (\cos(n\arg(z)) + i\sin(n\arg(z))) \) 来计算，这在解决复数方程和处理周期性问题时非常有用。
复变函数课程的学习旨在巩固复数基础知识，理解新的理论，以及熟练掌握复数的运算技巧。通过启发式教学和多媒体辅助，学生可以更好地理解和应用这些概念。教学过程中会涵盖复数的加减乘除、复数的模和辐角、复平面的概念、复数的三角表示、复数的乘幂和方根等内容，并通过例题和练习来加深理解和应用能力。
