复变函数是复分析中的一个基础概念，它是在复数域上定义的函数。复变函数论是数学物理中的一个重要分支，特别是在处理波动、热传导、电磁场等问题时，复变函数提供了一种强有力的工具。
复变函数的概念涉及点集到复平面的映射。具体来说，若存在一个函数关系f，使得每一个z在定义域E中的点都有唯一的w对应在复平面上，那么f就可以称作复变函数。这种函数可能是一对一的（单叶函数），也可能是多对一的（多叶函数）。在几何意义上，复变函数可以看作是点集在复平面上的一种变换映射。
在研究复变函数时，我们通常关注函数的区域特性。区域是指点集中的每一点都是内点的集合，即每个点都存在一个邻域完全包含在该集合内。内点是区域的一个概念，指的是在点集内且存在邻域被点集完全包含的点。外点则是指不属于区域的点。界点是属于点集的点，但其邻域内既有区域内的点也有区域外的点。区域边界由所有的界点构成，而一个区域如果是单连通的，则意味着在该区域内任取一条闭合曲线，曲线内部的所有点都属于该区域；反之，若非单连通区域，则是复连通区域。
在复变函数的研究中，极限与连续性是基本概念。极限定义了函数值随自变量趋近于某一值时的行为，而连续性描述了函数在某一点附近值的稳定性。复变函数在点上的连续性条件类似于实变函数，但具有与实函数相对应的性质。
此外，复数及其运算是复变函数论的基础。复数由实部和虚部组成，可以以几何形式（点、向量、极坐标、复球）或代数形式（代数式、三角式、指数式）表示。了解复数的性质和表示对于掌握复变函数的性质至关重要。
习题方面，文中提到了若干习题，这表明文档可能是教材或学习指导的一部分，目的是帮助学生理解和掌握复变函数的基本理论与计算技巧。
总体而言，复变函数的研究不仅包含函数的定义、几何意义、极限和连续性这些基础概念，还包括区域、单连通区域、复连通区域等更深入的理论。此外，复数及其运算是理解复变函数不可或缺的基础部分。在实际应用中，复变函数论的方法可以用来解决许多物理和工程问题，其理论的深度和广度都是数学和物理科学中的重要内容。
