根据给定文件的信息，我们可以总结出以下相关的知识点：
### 复变函数的导数与解析性的判定
#### 1. 导数定义及其应用
**定义：**
复变函数\(f(z)\)在点\(z_0\)处的导数定义为
\[
f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z}
\]
若此极限存在，则称\(f(z)\)在\(z_0\)处可导。
**例题分析：**
对于习题一中的第一部分，我们通过计算得知：
\[
f(z) = \frac{1}{z^n}
\]
其中\(n\)为正整数，其导数为
\[
f'(z) = -\frac{n}{z^{n+1}}
\]
证明过程中，通过代入定义并进行适当的变形，可以得到上述结果。这展示了如何利用导数定义来计算复变函数的导数。
#### 2. 解析性的概念
**定义：**
若复变函数\(f(z)\)在某区域内每一点都可导，则称\(f(z)\)在该区域内解析。
**例题分析：**
- **函数(1)** \(f(z) = x^2 - y^2 + i2xy\)
通过计算偏导数可知，在复平面上只有当\(x = -\frac{1}{2}\)时，函数满足Cauchy-Riemann(C-R)条件，因此该函数仅在直线\(x = -\frac{1}{2}\)上可导，但在整个复平面上不解析。
- **函数(2)** \(f(z) = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3)\)
通过计算偏导数发现，在复平面上只有当\(x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}y\)时，函数满足C-R条件，因此该函数仅在直线\(x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}y\)上可导，但同样在整个复平面上不解析。
- **函数(3)** \(f(z) = x^2y + ixy^2\)
计算偏导数后发现，仅在\(z = 0\)处函数满足C-R条件，因此该函数仅在点\(z = 0\)处可导，但在整个复平面上不解析。
- **函数(4)** \(f(z) = \sinh(x) \cosh(y) + i\cosh(x) \sinh(y)\)
计算偏导数后发现，该函数在复平面上处处满足C-R条件，因此该函数在复平面上处处可导且处处解析。
#### 3. 解析性的判定方法
**解析性判定的方法包括：**
1. **直接判定法**：利用定义来判断函数在某一点或某一区域内是否可导。
2. **Cauchy-Riemann(C-R)条件**：若函数\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\)，则若\(u\)和\(v\)满足C-R条件（\(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\) 和 \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)），则函数在该点解析。
3. **利用已知解析函数的性质**：如线性组合、乘积等。
**例题分析：**
- 对于函数\((1)\) \(f(z) = \frac{1}{(z-1)^5}\)和\((2)\) \(f(z) = \frac{2iz + 3}{z + 2i}\)，我们可以通过计算导数来确定它们的解析性。例如，\((1)\)的导数为\(-\frac{5}{(z-1)^6}\)，表明它在除去\(z = 1\)之外的复平面上处处解析；而\((2)\)的导数为\(\frac{2}{(z+2i)^2}\)，表明它在除去\(z = -2i\)之外的复平面上处处解析。
- **函数(3)** \(f(z) = \frac{1}{z^2 - 1}\)
计算导数为\(\frac{-2z}{(z^2-1)^2}\)，表明除了\(z = \pm 1\)之外的复平面上处处解析。
- **函数(4)** \(f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\)，其中\(ad-bc \neq 0\)
其导数为\(\frac{-ad+bc}{(cz+d)^2}\)，表明除了\(z = -\frac{d}{c}\)之外的复平面上处处解析。
### 总结
通过对复变函数的导数和解析性的研究，我们可以了解到复变函数在某些条件下可导以及解析的特性。这些特性不仅对于理论研究非常重要，而且在实际应用中也有着广泛的应用价值。理解这些基本概念有助于我们更好地掌握复变函数的基础理论，并能够解决更为复杂的数学问题。
