2022年数学建模国赛C题题目
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2023-02-06
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2022 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）
C 题 古代玻璃制品的成分分析与鉴别
丝绸之路是古代中西方文化交流的通道，其中玻璃是早期贸易往来的宝贵物证。早期的玻
璃在西亚和埃及地区常被制作成珠形饰品传入我国，我国古代玻璃吸收其技术后在本土就地取
材制作，因此与外来的玻璃制品外观相似，但化学成分却不相同。
玻璃的主要原料是石英砂，主要化学成分是二氧化硅（SiO
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）。由于纯石英砂的熔点较高，
为了降低熔化温度，在炼制时需要添加助熔剂。古代常用的助熔剂有草木灰、天然泡碱、硝石
和铅矿石等，并添加石灰石作为稳定剂，石灰石煅烧以后转化为氧化钙（CaO）。添加的助熔
剂不同，其主要化学成分也不同。例如，铅钡玻璃在烧制过程中加入铅矿石作为助熔剂，其氧
化铅（PbO）、氧化钡（BaO）的含量较高，通常被认为是我国自己发明的玻璃品种，楚文化
的玻璃就是以铅钡玻璃为主。钾玻璃是以含钾量高的物质如草木灰作为助熔剂烧制而成的，主
要流行于我国岭南以及东南亚和印度等区域。
古代玻璃极易受埋藏环境的影响而风化。在风化过程中，内部元素与环境元素进行大量交
换，导致其成分比例发生变化，从而影响对其类别的正确判断。如图 1 的文物标记为表面无风
化，表面能明显看出文物的颜色、纹饰，但不排除局部有较浅的风化；图 2 的文物标记为表面
风化，表面大面积灰黄色区域为风化层，是明显风化区域，紫色部分是一般风化表面。在部分
风化的文物中，其表面也有未风化的区域。
图 1 未风化的蜻蜓眼玻璃珠样品 图 2 风化的玻璃棋子样品
现有一批我国古代玻璃制品的相关数据，考古工作者依据这些文物样品的化学成分和其他
检测手段已将其分为高钾玻璃和铅钡玻璃两种类型。附件表单 1 给出了这些文物的分类信息，
附件表单 2 给出了相应的主要成分所占比例（空白处表示未检测到该成分）。这些数据的特点
是成分性，即各成分比例的累加和应为 100%，但因检测手段等原因可能导致其成分比例的累
加和非 100%的情况。本题中将成分比例累加和介于 85%~105%之间的数据视为有效数据。
请你们团队依据附件中的相关数据进行分析建模，解决以下问题：
问题 1 对这些玻璃文物的表面风化与其玻璃类型、纹饰和颜色的关系进行分析；结合玻
璃的类型，分析文物样品表面有无风化化学成分含量的统计规律，并根据风化点检测数据，预
测其风化前的化学成分含量。
问题 2 依据附件数据分析高钾玻璃、铅钡玻璃的分类规律；对于每个类别选择合适的化
学成分对其进行亚类划分，给出具体的划分方法及划分结果，并对分类结果的合理性和敏感性
进行分析。
问题 3 对附件表单 3 中未知类别玻璃文物的化学成分进行分析，鉴别其所属类型，并对
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