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本文基于FPGA实现三角函数、反三角函数以及指数函数计算,分别采用了cordic算法和切比雪夫逼近算法,比较了迭代次数达到误差精度10^-6. 建立已知角度θ,求解sinθ、cosθ的数学模型。 建立已知弧度θ,求解arctanθ的数学模型。 建立已知角度θ,求解tanθ的数学模型。 建立已知弧度θ,求解arcsinθ的数学模型。 建立已知指数a, 求解e^a的数学模型。
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1
目录
1. 设计介绍 ........................................................................................................................................................4
1.1 设计概述.............................................................................................................................................4
1.2 设计具体要求....................................................................................................................................4
2. Cordic 算法原理 .........................................................................................................................................5
3. 模型建立 ........................................................................................................................................................7
3.1 求解
𝒔𝒊𝒏𝜽
、
𝒄𝒐𝒔𝜽
..............................................................................................................................7
3.2 求解
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒘
.....................................................................................................................................9
3.3 求解
𝒕𝒂𝒏𝜽
...........................................................................................................................................11
3.3.1 cordic 算法 .....................................................................................................................................11
3.4 求解
𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒘
..................................................................................................................................12
3.5 求解
𝒆𝒂
................................................................................................................................................13
2
1. 设计介绍
1.1 设计概述
1、 建立已知角度
𝜃
,求解
𝑠𝑖𝑛𝜃
、
𝑐𝑜𝑠𝜃
的数学模型。
2、 建立已知弧度
𝜃
,求解
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝜃
的数学模型。
3、 建立已知角度
𝜃
,求解
𝑡𝑎𝑛𝜃
的数学模型。
4、 建立已知弧度
𝜃
,求解
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝜃
的数学模型。
5、 建立已知指数
𝑎
, 求解
𝑒
𝑎
的数学模型。
本文主要是通过 cordic 算法求解上述问题。
1.2 设计具体要求
根据数学模型,能够正确得到所需要的结果。
3
2. Cordic 算法原理
在二维平面上,设向量
(
𝑥
0
,
𝑦
0
),将向量旋转角度
𝜃
后得到的新向量为
(
𝑥
1
,
𝑦
1
),则根
据坐标变换关系,两者的关系式如下:
𝑥′
2
𝑦′
2
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
―
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑥′
1
𝑦′
1
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
1
―
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃
1
𝑥′
1
𝑦′
1
图 2.1 坐标变换图
将旋转角
𝜃
分解为 N 个递减的小旋转角
𝜃
𝑖
之和,即
𝜃
=
∑
𝑁
―
1
𝑖
=
0
𝜃
𝑖
,顺时针旋转时
𝛿
𝑖
=
―
1
,逆时
针旋转时
𝛿
𝑖
=
1
。对每次小的旋转有
再令
所以,
𝑡𝑎𝑛𝜃
=
2
―
𝑖
,且
则,有
经过 N 次旋转后,得到
其中,K 是校正因子,且有
4
所以,向量旋转问题最终转换为校正因子 K 的计算以及如下迭代式:
𝑥
𝑖
+
1
=
𝑥
𝑖
―
𝛿
𝑖
𝑦
𝑖
∙
2
―
𝑖
𝑦
𝑖
+
1
=
𝑦
𝑖
+
𝛿
𝑖
𝑥
𝑖
∙
2
―
𝑖
同时,迭代计算时,为了跟踪已经旋转的角度,还需引入一个新变量,定义为
𝑧
𝑖
+
1
=
𝑧
𝑖
―
𝛿
𝑖
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
―
𝑖
表示第 i 次旋转后剩余未旋转的角度。根据
𝛿
𝑖
的取值,cordic 算法又可以分为
旋转模式和向量模式;上述主要介绍了 cordic 算法的圆周坐标系中的变换,还
有线性坐标系和双曲线坐标系;
总的来说,cordic 算法有三种坐标系,每个坐标系都有旋转模式和向量模式,
模型如下:
𝑥
𝑖
+
1
=
𝑥
𝑖
―
𝜇
𝛿
𝑖
𝑦
𝑖
∙
2
―
𝑖
𝑦
𝑖
+
1
=
𝑦
𝑖
+
𝛿
𝑖
𝑥
𝑖
∙
2
―
𝑖
𝑧
𝑖
+
1
=
𝑧
𝑖
―
𝑑
𝑖
𝑒
𝑖
1、圆周坐标系:
𝜇
=
1,
𝑒
𝑖
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
―
𝑖
2、线性坐标系:
𝜇
=
0,
𝑒
𝑖
=
2
―
𝑖
3、双曲线坐标系 :
𝜇
=
―
1,
𝑒
𝑖
=
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛ℎ
2
―
𝑖
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