【知识点详解】
1. 二次函数的一般形式与识别：二次函数的标准形式是 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其中 a 决定了开口方向，b 决定了对称轴的位置，c 是函数与 y 轴的交点。题目中的选项分析了如何判断一个表达式是否为二次函数。
2. 抛物线的顶点公式与最值：对于 y = ax^2 + bx + c，顶点坐标为 (-b/(2a), c - b^2/(4a))，最小值（或最大值）取决于 a 的符号，当 a > 0 时，函数有最小值；当 a < 0 时，函数有最大值。
3. 二次函数图象的性质：包括对称轴、顶点坐标、增减性等。例如，题目中涉及了对称轴为直线 x = -b/(2a)，以及当 x > -b/(2a) 时，函数 y 随 x 的增大而增大。
4. 二次函数与坐标轴的交点：通过解方程 ax^2 + bx + c = 0 可以找到二次函数与 x 轴的交点，解得 x 值。
5. 平移二次函数：抛物线可以通过平移变换改变位置，如题目中的抛物线向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位。
6. 反比例函数的性质：反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的性质，当 k > 0 时，函数图像分别位于第一、三象限；当 k < 0 时，图像位于第二、四象限。结合反比例函数的性质，可以推断二次函数的图像特点。
7. 二次函数解析式的确定：根据给定的点，可以解出二次函数的系数。例如，若函数图像经过原点，则 c = 0；如果知道抛物线与 x 轴的交点，可以通过韦达定理求解 a、b、c。
8. 抛物线的形状和对称轴：抛物线的形状由 a 决定，相同形状的抛物线意味着 a 相同。
9. 方程的根与二次函数图像的关系：二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的根对应着二次函数与 x 轴的交点，解出方程的根可以确定函数与 x 轴的交点。
10. 二次函数的最值问题：可以通过配方法或者求导法求得二次函数的最大值或最小值。
11. 二次函数的形式要求：二次项系数不为零才能确保函数是二次函数。
12. 抛物线的顶点坐标和单调性：抛物线的最低点即顶点，当 x 大于顶点的 x 坐标时，y 随 x 增大而增大。
13. 抛物线与 x 轴交点的横坐标：交点的横坐标即为相应一元二次方程的解。
14. 顶点在 x 轴上的抛物线：这意味着顶点的 y 坐标为0，由此可求出 m 的值。
15. 二次函数的最大值：最大值对应于顶点的 y 坐标，通过顶点坐标公式可以求解 a。
16. 抛物线对称轴的求解：抛物线 y=ax^2+bx+c 的对称轴是直线 x=-b/(2a)，根据给定的根可以计算出对称轴。
17. 抛物线与直线只有一个公共点：这表示它们的方程联立后只有一个解，可以转化为判别式等于0的情况。
18. 抛物线解析式的构造：根据开口方向、对称轴位置及与 y 轴的交点坐标，可以直接写出抛物线的解析式。
19. 求二次函数的对称轴、顶点坐标和最值：可通过配方法或求根公式进行计算。
20. 已知点和对称轴求抛物线解析式：首先确定 a 的符号，然后利用两点构建方程组，解出 a、b、c。
21. 二次函数图像的解析式、顶点和对称轴：根据图象特点求解坐标，进而确定解析式；对称轴由顶点坐标求出。
22. 顶点和特殊点确定二次函数解析式：根据顶点坐标和另一个点，可以列出方程组求解；比较不同点的函数值，需先将点坐标代入解析式。
23. 最大面积问题：这是一个优化问题，可以通过求导或几何方法找到矩形最大面积的条件。在这个问题中，张大伯的羊圈面积 S = (40 - 2x)x，其中 x 为矩形的宽度。通过求导找到最大面积的 x 值。
以上就是数学九年级下华东师大版第27章《二次函数》单元测试题中涉及的全部知识点详解。
