反比例函数是初中数学中的一个重要概念，主要出现在八年级下学期的人教版新课标教材中。反比例函数的形式通常为 \( y = \frac{k}{x} \)，其中 \( k \) 是常数且 \( k \neq 0 \)。这种函数的特点是，变量 \( y \) 与变量 \( x \) 的乘积是一个常数，即 \( xy = k \)。
在选择题的第一题中，我们需要找出哪些表达式代表了反比例函数。正确的选项是那些满足 \( xy = k \) 形式的表达式，即① \( 3y = \frac{k}{x} \) 和② \( \frac{y}{6} = \frac{k}{x} \) 以及④ \( \frac{m}{y} = kx \)（其中 \( m \) 是常数且 \( m \neq 0 \)）。因此，正确答案是 A.①②④。
第二题考查的是反比例函数的性质。当长方形面积固定时，长与宽成反比，因为长乘以宽等于面积，这符合反比例函数的定义。
第三题涉及反比例函数图像的位置。反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像分为两部分，分布在第一、三象限或第二、四象限，取决于常数 \( k \) 的符号。如果 \( k > 0 \)，图像位于第一、三象限；如果 \( k < 0 \)，图像位于第二、四象限。题目中点 \( (3, m) \) 在图像上，且 \( m > 0 \)，因此 \( k > 0 \)，图像在第一、三象限，所以答案是 B.
第四题，反比例函数 \( y = \frac{k}{x} \) 的图像通过点 \( (-4, 6) \)，所以 \( k = -4 \times 6 = -24 \)。然后，我们检验每个选项是否满足 \( xy = -24 \)。选项 B. \( (-3, 8) \) 使得 \( -3 \times 8 = -24 \)，所以点 \( (-3, 8) \) 在图像上。
第五题，根据反比例函数图像的形状，我们可以推断出哪个图形代表了 \( y = \frac{12}{x} \)。由于这个函数的图像会穿过第一、三象限，选项 D 符合要求。
第六题中，已知反比例函数的图像在第二、第四象限，说明 \( k < 0 \)。根据点 A(7, 2) 和 B(5, y2)，因为 \( x \) 的值在第二象限中是正的，所以 \( y \) 必须是负的，因此 \( y1 < 0 \) 且 \( y2 < 0 \)。由于第二象限中 \( y \) 随 \( x \) 的增大而增大，所以 \( y1 < y2 \)。
接下来是填空题部分。第七题要求写出一个图像在第一、三象限的反比例函数，如 \( y = \frac{1}{x} \) 或 \( y = \frac{2}{x} \)。第八题中，反比例函数的图像经过点 (3, 2) 和 (m, -2)，则 \( 3 \times 2 = m \times (-2) \)，解得 \( m = -3 \)。第九题，三角形的顶点可能在反比例函数 \( \frac{k}{x} \) 图像上，只有当 \( xy > 0 \) 时，点才可能在图像上，所以只有点 B(4, 5) 符合。
第十题，由图可知，电流 I 与可变电阻 R 成反比，当电流 I = 10A 时，可变电阻 R 应该是 3.6 Ω。
第十一题，根据题意，S_{\triangle MON} = \frac{1}{2}ON \cdot MN = 2，因为 MN 是垂直于 x 轴的，所以 ON = x，MN = y，于是 \( xy = 4 \)，而 \( k = -xy \)，所以 \( k = -4 \)。
第十二题，小明步行速度与时间的关系是反比例函数，表示为 \( y = \frac{1500}{x} \)。物体对地面的压强与接触面积成反比，表示为 \( y = \frac{1500}{x} \)。其他类似关系可以是：气体的压强 P 与体积 V 成反比，即 \( P = \frac{k}{V} \)（波义耳定律）。
解答题部分包括汽车速度与时间的关系、一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数与反比例函数图像交点所构成三角形的面积等。这些题目旨在加深学生对反比例函数的理解及其实际应用。
反比例函数在初中数学中扮演着核心角色，它不仅涉及到基本的概念理解，还包括了图像分析、性质应用和实际问题的解决。通过这些测试题，学生可以更好地掌握反比例函数的各个方面，为后续的学习打下坚实的基础。
