【斯托克斯公式】是微积分中的一个关键定理，它是格林公式的推广，主要连接了空间曲面的曲面积分与边界曲线的曲线积分。公式表述为：如果一个分段光滑的空间有向闭曲线\( C \)是分片润滑有向曲面\( S \)的边界，并且曲面的正向与曲线的侧遵循右手规则，且函数\( F \)在包含曲面的区域有连续的一阶偏导数，那么空间向量场\( F \)在曲面\( S \)上的曲面积分等于其边界曲线\( C \)上的曲线积分，即\( \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS \)。
**环流量与旋度**是向量场的重要特性。环流量是向量场\( \mathbf{F} \)沿着曲线\( C \)的积分，表示曲线上的流过面积的总量，记作\( \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \)。旋度则表示向量场的旋转性质，记作\( \nabla \times \mathbf{F} \)，它是一个标量函数，可以理解为在空间某点处向量场旋转的快慢。
**向量微分算子**，如梯度\( \nabla \)、散度\( \nabla \cdot \mathbf{F} \)和旋度\( \nabla \times \mathbf{F} \)，是处理多变量微积分中的核心工具。梯度指向函数增长最快的方向，散度表示区域内向量场的发散或汇聚，旋度则衡量向量场的旋转。
例如，在例题中，通过斯托克斯公式计算曲线积分：
- 例1中，计算的是在三坐标面所截三角形边界的曲线积分，利用斯托克斯公式简化了计算过程。
- 例2涉及曲面是立方体的一部分，计算逆时针方向的曲线积分，这里同样利用了斯托克斯公式。
- 例3展示了如何应用对称性来简化曲线积分问题。
- 例4和例5分别计算了向量场在特定点的散度和旋度，这涉及到向量微分算子的应用。
- 例6讨论了刚体旋转时，点的线速度的旋度，这是旋度在实际问题中的应用。
课堂训练题进一步巩固了对斯托克斯公式和向量场特性的理解和应用，例如计算螺线一段的曲线积分以及在旋转物体中的散度和旋度问题。
斯托克斯公式是解析空间中物理现象，如流体力学中的涡旋运动，电磁学中的磁场线分布等的关键数学工具。理解并熟练运用斯托克斯公式、环流量与旋度的概念和计算方法，对于解决相关领域的问题至关重要。
