这份“2005级初等数学甲（下）期终试卷”涵盖了高等数学中的多个核心知识点，主要包括：填空题、解答题以及综合题目，这些题目涉及了积分理论、微分方程、级数收敛性、方向导数、曲面积分、幂级数和极值问题等。
一、填空题
1. 第一题涉及到极限计算，可能考察的是函数在某点的极限或者等价无穷小替换。
2. 第二题考查积分次序的交换，通常需要积分区域的可交换性或Fubini定理。
3. 第三题提到级数收敛，可能需要应用比较判别法或比值判别法来确定级数的收敛性。
4. 第四题是直线段的线积分，可能需要利用参数化直线来计算。
5. 第五题关于连续函数的性质，可能需要利用介值定理或者微分中值定理。
6. 第六题给出了一个微分方程，解这类方程通常需要分离变量或者用特征根的方法。
二、解答题
1. 题目要求求解函数的跟，可能涉及到根的存在性与唯一性定理，以及牛顿迭代法等。
2. 方向导数的计算要求理解偏导数和方向导数的概念，以及如何找到方向导数的最大值。
3. 这部分可能是计算二重积分，需要用到积分的换元法或分块法。
三、解答题
1. 微分方程的通解需要通过解常系数线性微分方程来得到。
2. 展开成余弦级数即傅里叶余弦级数，需要应用傅里叶变换的知识。
3. 计算曲面积分需要理解曲面积分的定义，可能需要格林公式或者斯托克斯公式。
四、极值问题
求函数在特定条件下的极值，需要用到多元函数的偏导数和二阶偏导数，如拉格朗日乘数法。
五、曲面积分
这题要求计算三重积分，可能需要将三维区域转化为熟悉的二维积分形式，然后利用积分法则。
六、幂级数
要求找到幂级数的收敛区间和跟函数，需要分析级数的一般项，应用泰勒级数或洛必达法则。
七、微分方程的通解
解这类非齐次线性微分方程，需要将非齐次部分与齐次部分分开处理。
八、曲线积分
曲线积分涉及格林公式，需要将曲线积分转化为二重积分。
九、连续函数的性质证明
这个证明可能需要用到积分的性质，比如黎曼积分的性质和积分与极限的关系。
这份试卷全面测试了学生对高等数学下学期内容的理解和掌握，包括但不限于极限、积分、微分方程、级数、几何应用等重要概念。解决这些问题需要扎实的理论基础和灵活的应用能力。
