"三角函数练习题"
一、三角函数的定义和特性
三角函数是数学中最重要的函数之一,在解决三角形问题时,需要使用三角函数。三角函数有多种,如sin、cos、tan等,这些函数都是以三角形的边长和角度为参数的。
二、三角函数的图象
三角函数的图象是指三角函数的图形表示。三角函数的图象可以是周期性的,也可以是非周期性的。例如,sin(x)的图象是一个周期性的图象,而tan(x)的图象是一个非周期性的图象。
三、解三角函数的方法
解三角函数有多种方法,常见的有:
1. 用基本三角函数 identities,如 sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) 等。
2. 用三角函数的图象来解题。
3. 用微积分来解题。
四、三角函数的应用
三角函数有广泛的应用,例如:
1. 三角形问题:三角函数可以用于解决三角形的问题,如计算三角形的边长和角度。
2. 波动问题:三角函数可以用于描述波动的运动,如音波、水波等。
3. 图像处理:三角函数可以用于图像处理,如图像旋转、图像缩放等。
五、练习题解析
1. 设,且同时成立的值是(A).
解析:由于sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b),所以sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) = 1,故a+b = 90°或270°.
2. 函数的图象的一条对称轴为直线( ).
解析:由于函数的图象是一条周期性的图象,故其对称轴是x = π/2.
3. 下列不等式中,正确的是( ).
解析:由于sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b),故sin(a+b) < sin(a) + sin(b).
4. 若,且为锐角,则的值是( ).
解析:由于sin(a) = a/1!,故sin(a) = a.
5. 若,則的取值范围是( ).
解析:由于tan(x) = sin(x)/cos(x),故tan(x) 的取值范围是(-∞,∞).
6. 如果,且,则必有( ).
解析:由于sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b),故sin(a+b) = 1.
7. 要使有意义,則应满足( ).
解析:由于cos(x) = 1 - 2sin²(x),故cos(x) ≥ -1.
8. 已知,且的图象可以是把的图象是上的所有点的横坐标都压缩到原来的倍(纵坐标不变)得到的,则( ).
解析:由于y = Asin(ωx),故y = 2Asin(ωx/2).
9. 函数的最小正周期是 .
解析:由于函数的图象是一条周期性的图象,故其最小正周期是2π.
10. 函数的图象的最高点的坐标是 .
解析:由于函数的图象是一条周期性的图象,故其最高点的坐标是(π/2,1)。
11. 函数的对称中心是 .
解析:由于函数的图象是一条周期性的图象,故其对称中心是(π/2,0)。
12. 若且,求的值.
解析:由于tan(x) = sin(x)/cos(x),故tan(x) = 1.
13. 若,求函数的值域.
解析:由于sin(x) = x/1!,故sin(x) 的值域是[-1,1].
14. ⑴ 化简:; ⑵已知,计算: .
解析:⑴由于cos(2x) = 2cos²(x) - 1,故cos(2x) = 2x² - 1.
⑵由于tan(x) = sin(x)/cos(x),故tan(x) = x.
15.求函数的定义域.
解析:由于函数的定义域是x ∈ [0,π/2),故函数的定义域是x ∈ [0,π/2).
16.求函数的单调递减区间.
解析:由于函数的图象是一条递减的图象,故函数的单调递减区间是x ∈ [0,π/2).
17.(1)如图 f 所示的曲线是 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,求这个函数的解析式
(2)已知函数 y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0<<2π)图象的一个最高点(2,),由这个最高点到相邻最低点的图象与 x 轴交于点(6,0),试求函数的解析式
(3)函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)在同一周期内,当 x=时,y 有最大值为,当 x=时,y 有最小值-,求此函数的解析式
解析:(1)由于函数的图象是一条周期性的图象,故函数的解析式是y = Asin(ωx+φ).
(2)由于函数的图象是一条周期性的图象,故函数的解析式是y = Asin(ωx+).
(3)由于函数的图象是一条周期性的图象,故函数的解析式是y = Asin(ωx+φ)+k.