1．7四种命题能力提升.doc

在数学逻辑中，命题及其变形是基础概念，本题主要涉及四种命题——原命题、逆命题、否命题和逆否命题。我们逐一解析题目中的知识点。 1. **四种命题** - **原命题**：一个陈述句，如“若a＞b，则a－5＞b－5”。 - **逆命题**：交换原命题中的条件和结论，如“若a－5＞b－5，则a＞b”。 - **否命题**：同时否定原命题的条件和结论，如“若a≤b，则a－5≤b－5”。 - **逆否命题**：将原命题的条件和结论否定后互换，如“若a－5≤b－5，则a≤b”。 2. **命题之间的关系** - 一个命题的逆命题和否命题是等价的，即如果一个命题的逆命题是真命题，那么它的否命题也是真命题（反之亦然）。 - 如果一个命题的逆否命题是真命题，这通常意味着原命题也是真命题，因为逆否命题和原命题之间存在等价关系。 3. **反证法** - 反证法是一种证明方法，通过假设原命题的否定（即结论的否定）是真实的，然后推导出矛盾来证明原命题的真实性。在第5题中，反证法假设的是原命题的结论的否定形式。 4. **题目的解答** - 第1题答案是(C)若A∩B≠B，则A∪B≠A，否命题要同时否定条件和结论。 - 第2题答案是(D)不一定是假命题，因为逆命题和否命题等价。 - 第3题答案是(C)不一定是真命题，逆命题和否命题的关系只保证了等价性，不保证真值一致性。 - 第4题答案是(C)若a≤b，则a－5≤b－5，这是原命题的逆否命题。 - 第6题答案是(B)否命题，因为r是q的否定，而q是p的逆命题，所以r是p的否命题。 5. **填空题** - 命题P的逆命题是q，否命题是r，所以q是r的逆命题。 - “正数的算术平方根大于0”可以写成“若p（p代表‘数是正数’），则q（q代表‘其算术平方根大于0’）”。 - 其逆命题是“若q（算术平方根大于0），则p（数是正数）”。 - 否命题是“若p（数是正数），则非q（其算术平方根不大于0）”，即“若数是正数，其算术平方根不大于0”是不可能的，因此等于“若数不是正数”。 - 逆否命题是“若非q（算术平方根不大于0），则非p（数不是正数）”。 6. **解答题** - “质数不都是奇数”的逆命题是“奇数都是质数”，这是错误的，因为2是一个偶数但同时也是质数。 - 否命题是“所有的质数都是奇数”，这个说法也是错误的，因为2的存在反驳了它。 - 逆否命题是“若一个数不是奇数，则它不是质数”，这也是错误的，因为除了2之外的偶数都不是质数，但这个命题忽略了2。 7. **求解实数a的取值范围** - 使用反证法，假设三个方程都没有实根，根据判别式可以得出a的特定范围，然后证明这个假设会导致矛盾，从而确定a的取值范围。 这些知识点涵盖了逻辑推理的基础和应用，是数学、逻辑学和证明技巧的重要组成部分。在学习过程中，理解和掌握这些概念对于解决更复杂的数学问题至关重要。