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计算机小数表示.温故知新.pdf
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计算机⼩数表⽰计算机⼩数表⽰.温故知新温故知新
在⼀般书写中,⼩数点是⽤记号"."来表⽰的,但在计算机中表⽰任何信息只能⽤0或1两种数码,如果计算机中的⼩数点⽤数码表⽰的
话,则与⼆进制数位双不易区分,所以在计算机中⼩数点就不能够⽤记号表⽰,那么在计算机中⼩数点⼜如何确定呢?
为了确定⼩数点的位置,在计算机中,数的表⽰有两种⽅法:定点表⽰法和浮点表⽰法。
所谓定点与浮点是指⼀个数的⼩数点位置是固定的还是浮动的。
(1)定点表⽰法
所谓定点表⽰法,是指在计算机中所有数的⼩数点的位置⼈为约定固定不变。这样,⼩数点的位置就不必⽤记号"."表⽰出来了。⼀
般地说,⼩数点可约定固定在任何数位之后,但常⽤下列两种形式: ①定点纯⼩数:约定⼩数点位置固定在符号之后,如: 显然,定
点数表⽰法使计算机只能处理纯整数或纯⼩数,限制了计算机处理数据的范围。为了使得计算机能够处理任意数,我们事先要将参加运算的
数乘上⼀个"⽐例因⼦",转化成纯⼩数或纯整数后进⾏运算。运算结果⽐例因⼦还原成实际数值。⽐例因⼦要取得合适,使参加运算的数、
运算的中间结果以及最后结果都在该定点数所能表⽰的数值范围之内。
(2)浮点表⽰法
在浮点表⽰法中,⼩数点的位置是浮动的。为了使⼩数点可以⾃由浮动,浮点数由两部分组成,即尾数部分与阶数部分。浮点数在机
器中的表⽰⽅法如下: 其中,尾数部分表⽰该浮点数的全部有效数字,它是⼀个有符号位的纯⼩数;阶数部分指明了浮点数实际⼩数点
的位置与尾数(定点纯⼩数)约定的⼩数点位置之间的位移量P。该位移量P(阶数)是⼀个有符号位的纯⼩数。 当阶数当为+P时,则
表⽰⼩数点向右移动P位;当阶数为-P时,则表⽰⼩数点和左移动P位。因此,浮点数的⼩数点随着P的符号和⼤⼩⽽⾃由浮动。 从上
述可知,⼀个浮点数是由两个定点数组合⽽成的。⽽⼀个定点也可以看成是浮点数的⼀个特例。即当浮点数的阶数部分为零时(表⽰该数实
际⼩数点的位置与定点⼩数约定位置⼀致),这样,浮点数只剩下尾数部分了。同理,定点数表⽰法是浮点数表⽰法的基础,⽽浮点数表⽰
法是定点数表⽰法的应⽤。它们之间的相互关系,从理论上看有下述关系。
我们知道,任意⼀个⼆进制数总可以表⽰为纯⼩数(或纯整数)和⼀个2的整数次幂的乘积。例如,任意⼀个⼆进制数N可写成:
N=S×2^p
式中,S称为数N的尾数;P称为数N的阶数,此处P、S都是⽤⼆进制表⽰的数。尾数S表⽰了数N的全部有效数字,显然S采⽤的
数位越多,则数N表⽰的数值精确度越⾼。阶数P指明了数N的⼩数点的位置,显然P采⽤的数位越多,则数N表⽰的数值范围就越⼤。
如假定P=0,此时,N=S×20=S。若尾数S为纯⼩数,这时数N为定点⼩数。
如假定P=0,此时若尾数S为纯整数,则数N为定点整数。
如假定P=任意整数,此时,数N需要尾数S和阶数P两部分共同表⽰,即数N为浮点数。
显然,浮点数表⽰的数值范围⽐定点数表⽰的数值范围⼤得多。设浮点数的阶数位数为m+1位,尾数的位数为n+1位,则浮点数的取值
范围为: 虽然浮点数具有表⽰数值范围⼤的突出优点,但是,浮点数的运算较为复杂。当计算机进⾏⼀次浮点数运算时,需要分别进⾏
两次定点数运算。
例如,设两个浮点数为:
N1 = 2^P1×S1
N2 = 2^P2×S2
如P1≠P2,则两数就不能直接相加、减,必须⾸先对齐⼩数点(即对阶)后,才能作尾数间的加、减运算。对阶时,⼩阶向⼤阶看
齐,即把阶⼩的⼩数点左移,在计算机中是尾数数码右移,右移1位,阶码加1,直⾄两数的阶码相同为⽌,然后两数才能相加减
浮点数的乘除法,阶码和尾数要分别进⾏运算。
为了使计算机运算过程中不丢失有效数字,提⾼运算的精度,⼀般都采⽤⼆进制浮点规格化数。所谓浮点规格化,是指尾数S的绝对值
⼩于1⽽⼤于或等于1/2,即⼩数点后⾯的⼀位必须是"1"。例如,N= 2+100×0.1011101就是⼀个浮点规格化数。由于浮点数运算复杂,运
算器中除了尾数运算部件外,还有阶码运算部件,控制部件也相应地复杂了,故浮点机的设备增多,成本较⾼。
在计算机中,究竟采⽤浮点制还是定点制,必须根据使⽤要求设计。⽬前,⼀般⼩型机、微型机多采⽤定点制,⽽⼤型机、巨型机及
⾼档微型机中多采⽤浮点制。
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