数系的扩充与复数的引入是高中数学中的一个重要知识点，这部分内容主要涉及复数的定义、性质以及复数在复平面上的表示。复数是实数系的一个扩展，它解决了实数系中无法解决的一些问题，比如根号负一的运算。
1. 复数的构成：复数由实部和虚部组成，形式为\( a + bi \)，其中\( a \)是实部，\( b \)是虚部，\( i \)是虚数单位，满足\( i^2 = -1 \)。
2. 复平面：复数可以形象地在复平面上表示，其中横轴代表实轴，纵轴代表虚轴。每个复数对应复平面上的一个点，例如点\( (a, b) \)对应复数\( a + bi \)。
3. 纯虚数：当复数的实部为零时，称为纯虚数，如复数\( 2i \)。
4. 复数的运算：复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算，乘法时需要使用分配律和\( i^2 = -1 \)的性质。例如，\( (a+bi)(c+di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \)。
5. 共轭复数：对于复数\( a + bi \)，它的共轭复数是\( a - bi \)。共轭复数的乘积是实数，即\( (a+bi)(a-bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2 \)。
6. 复数的模：复数的模表示其在复平面上到原点的距离，计算公式为\( |a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
7. 复数的几何意义：在解方程如\( x^2 + 1 = 0 \)时，复数提供了解，解为\( \pm i \)。这些解在复平面上表示为第二象限的点。
8. 实部与虚部：复数的实部和虚部可以通过简单的代数操作提取，如题目中给出的例子所示。
9. 复数的等式与不等式：复数可以满足各种等式和不等式，这在解决复数相关的几何问题或代数问题时非常有用。
10. 复数的应用：复数在物理学、工程学等领域有广泛应用，如交流电路分析、信号处理等。
通过上述的练习题，我们可以看到如何运用这些概念来解决问题，包括判断复数在复平面上的位置、计算复数的乘积、求解复数的模和共轭，以及处理与复数相关的等式和不等式。这些题目涵盖了复数的基础知识和基本运算，对于理解和掌握复数的概念至关重要。
