一、 拉格朗日(或牛顿)插值的余项；用差商算 Hermite 插
值；
例题 1：已知函数
()
y fx=
在节点处的函数值为
(0) 0, (3) 1ff= =
，试求：
(1) 一次 Lagrange 插值函数的表达式，若
max | ( ) |
axb
fx M
≤≤
′′
≤
，试估计截断误差；
(2) 若增加节点条件
(0) 1, (3) 0ff
′′
= =
，求三次 Hermite 插值函数的表达式，并求
函数值
(1.2)
f
。
解：(1) Lagrange 插值函数为
1
30
( ) (0) (3)=
03 30 3
x xx
Lx f f
−−
= +
−−
截断误差为
1
13
| ( )| | ( )||( 0)( 3)|
24
Rx f x x M
ξ
′′
= − −≤
(2) 由重节点差商法可得
0 0
0 0 1
3 1
13
29−
3 1 0 -1/9 1/27
二、最佳平方逼近和最小二乘逼近
例题 2：（1）设
xaap
101
+=
∗
, 则
1
0
=
ϕ
,
x=
1
ϕ
,
211),(
1
1
00
=⋅=
∫
−
dx
ϕϕ
,
01),()
,(
1
1
0110
=⋅=
=
∫
−
xdx
ϕϕϕϕ
,
3
2
),(
1
1
11
=⋅=
∫
−
xdxx
ϕϕ
,
e
edxef
x
1
1),(
1
1
0
−=⋅=
∫
−
ϕ
,
e
exe
dxxef
xxx
2
||),
(
1
1
1
1
1
1
1
=−=
=
−−
−
∫
ϕ
.
故法方程为
−
=
e
e
e
a
a
2
1
3
2
0
02
1
0
, 解得
=
−
=
e
a
e
e
a
3
2
1
1
2
0
,
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