控制系统时域数学模型是描述动态系统内部物理量或变量间关系的数学表达式，它是控制系统分析和设计的基础。数学模型可以采用多种形式，如微分方程、传递函数、结构图、信号流图以及状态空间表达式。在经典控制理论中，微分方程和传递函数等是常见的模型表示方式；而在现代控制理论中，状态空间模型更为常用，它能更直观地描述系统的动态行为。
建立控制系统的数学模型通常有两种方法：分析法和实验法。分析法，也称为机理建模法，是基于系统各组成部分的物理机制来建立模型，通过分析运动方程来描述系统行为。实验法则通过向系统施加测试信号，记录输出响应来识别模型参数。
以一个具体的例子——RLC串联电路为例，我们可以根据基尔霍夫电流定律和电压定律来建立微分方程。对于这样的电路，输入量通常是电压，输出量可能是电流。通过求解这些微分方程，我们可以得到系统对输入信号的响应。
电枢控制的直流电动机也是一个典型的控制系统。在这种情况下，电枢电压是输入，转速是输出。通过电磁转矩方程和电机轴上的转矩平衡方程，可以推导出描述电机运行的微分方程。在某些简化假设下，例如忽略电枢回路电感和电阻，以及电动机转动惯量的影响，微分方程可以进一步简化。
此外，对于像弹簧-质量-阻尼器系统这样的机械系统，也可以用类似的步骤建立微分方程。输入量通常是作用在质量块上的外力，输出量是位移。根据牛顿第二定律，我们可以列出力的平衡方程，从而得到描述系统动态行为的二阶微分方程。
总结控制系统微分方程的建立步骤如下：
1. 确定系统的输入和输出量。
2. 列出与输入、输出量相关的物理方程，对应每个元件。
3. 简化方程，例如忽略次要因素，对非线性元件进行线性化处理。
4. 消去中间变量，从输入端开始按照信号传递顺序建立微分方程，得到输入和输出关系的表达式。
这些步骤对于理解控制系统的行为至关重要，它们为控制器设计提供了基础，使得我们可以预测和控制系统的动态响应。通过微分方程，我们可以分析系统的稳定性、瞬态响应和稳态性能，进而优化系统设计，确保其满足预定的控制目标。
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