回归分析是一种统计方法,用于研究两个或多个变量之间的关系,特别是当一个变量(因变量)的值依赖于另一个变量(自变量)的值时。在本课件中,回归分析被介绍为一种处理变量间不确定关系的工具,它适用于那些自变量变化时,因变量的取值带有一定随机性的场景。
首先,我们来看一个简单的例子,正方形的面积(y)与其边长(x)的关系是一个确定性的函数关系,即 y = x^2。这意味着只要知道边长x,就可以精确计算出面积y。然而,在实际问题中,比如某水田的水稻产量(y)与施肥量(x)之间的关系,就可能不是这样的确定性关系,而是一种相关关系。相关关系意味着当施肥量增加时,水稻产量可能会相应地有所变化,但不是固定的比例关系,存在一定的随机性。
回归分析的目标是找到一个最佳的数学模型,这个模型能够描述两个变量之间的这种不确定性关系。在大多数情况下,我们会使用线性回归分析,这是一种简化的方法,用来找出两个变量之间最接近的直线关系。线性回归方程通常写作 y = bx + a,其中b是斜率,a是截距。通过最小二乘法,我们可以找到使得所有数据点与这条直线距离平方和最小的b和a值。
相关系数(r)是衡量两个变量间线性相关程度的指标,其值介于-1和1之间。当r接近1时,表示两个变量高度正相关;当r接近-1时,表示高度负相关;如果r接近0,则表示两个变量之间几乎没有线性关系。计算相关系数的公式为:
r = Σ[(x - x̄)(y - ȳ)] / √[Σ(x - x̄)^2 * Σ(y - ȳ)^2]
在案例分析中,课件给出了8名女大学生的身高和体重数据,通过这些数据可以建立身高(x)对体重(y)的线性回归方程,以预测特定身高下的体重。例如,如果一名女大学生的身高为172cm,可以通过回归方程得到她的预估体重。然而,回归方程给出的是平均预测值,实际体重可能会因为其他未考虑的因素(如遗传、生活习惯等)而有所不同,这就是随机误差项e的来源。
回归模型与函数模型的主要区别在于,函数模型假设因变量完全由自变量决定,而回归模型则承认因变量受到自变量和随机误差项的共同影响。在统计中,自变量被称为解释变量,因变量被称为预测变量。因此,对于身高172cm的女大学生,回归方程可以用来预报其体重,但实际体重可能会有所偏离。
总结来说,回归分析是研究变量间不确定关系的重要统计方法,通过线性回归我们可以建立模型来预测因变量的值,而相关系数可以帮助我们理解变量间的关联强度。在实际应用中,考虑到随机误差和其他未测量的影响因素,回归模型提供的预测结果是一个概率分布中的期望值,而非确定性的结果。