"时间序列分析 ARMA 模型的参数估计"
时间序列分析中的 ARMA 模型是一种常用的时序模型，用于描述和分析时间序列数据。ARMA 模型的参数估计是时间序列分析的核心内容，本文将详细介绍 ARMA 模型的参数估计方法。
一、AR(p) 模型的参数估计
AR(p) 模型是一种自回归模型，描述时间序列的自回归关系。AR(p) 模型的参数估计可以使用 Yule-Walker 估计法，该方法是通过自协方差函数来估计自回归系数和白噪声方差。
假定数据适合于以下模型：
Xt = α1Xt-1 + α2Xt-2 + … + αpXt-p + εt
其中，p 是给定的非负整数，αi 是未知参数，εt 是独立同分布序列，且εt 与 Xt-j (j = 1, 2, …, p) 独立。
为了估计自回归系数和白噪声方差，可以使用 Yule-Walker 估计法。该方法是通过自协方差函数来估计自回归系数和白噪声方差。
计算自协方差函数：
γ(h) = E(XtXt-h)
其中，h 是时间延迟，E 是数学期望运算符。
然后，使用 Yule-Walker 方程来估计自回归系数：
αˆ = γ(-1) / γ(0)
其中，αˆ 是自回归系数的估计值，γ(-1) 是自协方差函数的值，γ(0) 是自协方差函数的值。
使用白噪声方差的估计公式：
σˆ2 = γ(0) - αˆγ(-1)
其中，σˆ2 是白噪声方差的估计值。
二、AR(p) 模型的矩估计
AR(p) 模型的矩估计是通过样本 Yule-Walker 方程来估计自回归系数和白噪声方差。该方法是将样本数据代入 Yule-Walker 方程中，并使用最小二乘法来估计自回归系数和白噪声方差。
计算样本自协方差函数：
γˆ(h) = (1/n) \* Σ(XtXt-h)
其中，n 是样本大小， Xt 是时间序列数据。
然后，使用样本 Yule-Walker 方程来估计自回归系数：
αˆ = γˆ(-1) / γˆ(0)
使用白噪声方差的估计公式：
σˆ2 = γˆ(0) - αˆγˆ(-1)
三、Levison 递推方法
对于较大的 p，为了加快计算速度，可以采用 Levison 递推方法。该方法是通过递推公式来估计自回归系数和白噪声方差。
计算初始值：
αˆ(0) = γˆ(-1) / γˆ(0)
然后，使用递推公式：
αˆ(k) = αˆ(k-1) + (γˆ(k) - γˆ(k-1)) / γˆ(0)
其中，k 是时间延迟。
使用白噪声方差的估计公式：
σˆ2 = γˆ(0) - αˆ(p)γˆ(-1)
四、结论
本文详细介绍了 ARMA 模型的参数估计方法，包括 Yule-Walker 估计法和矩估计法。同时，还介绍了 Levison 递推方法，该方法可以加快计算速度。这些方法都是时间序列分析中的核心内容，对于时间序列数据的分析和预测非常重要。
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