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时间序列 ARMA模型的特性PPT课件.pptx

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后移算子的性质 :

第 1 页 / 共 36 页

(1) 常数的后移算子为常数：

Bc c

(2) 分配律：

( )

m n m n

t t t t m t n

B B X B X B X X X

 

    

(3) 结合律：

( )

m n m n m

t t t n t m n

B B X B B X B X X

  

  

(4) 后移算子 B 的逆为前移算子

1t t

B X X







(5) 对于





，无限求和得

2 2 3 3

(1 ...)

B B B X

  



    



二、线性差分方程

差分方程的通解为：

可写成

这里

这里， C

(t) 是齐次方程通解， I(t) 是特解。

第 2 页 / 共 36 页

1 1 1 1t t n t n t t m t m

X X X a a a

   

   

       

( ) ( )

t t

B X B a

 



1 2

( ) (1 )

B B B B

   

    

1 2

( ) 1

B B B B

   

    

( ) ( )

X C t I t 

三、齐次方程解的计算

假定 G

， G

，…， G

是互不相同，则在时刻 t 的通解：

其中 A

为常数（可由初始条件确定）。

无重根

考虑齐次差分方程

•

第 3 页 / 共 36 页

( ) 0

B X





1 2

( ) (1 )(1 ) (1 )

B G B G B G B



   

1 1 2 2

t t t

t n n

X A G A G A G   

( ) 0B





•

重根设

有 d 个相等的根，可验证通解为

对一般情形，

因此，齐次方程解是由衰减指数项、多项式、衰减正弦项，以及这

些函数的组合混合生成的。

齐次方程解便是

第 4 页 / 共 36 页

( ) 0B







2 1

0 1 2 1 0

[ ]

d t

t d

X A A t A t A t G



    

1 2 0

( ) (1 )(1 ) (1 )(1 )

B G B G B G B G B



    

0 1

( )

d n

t j t

k j i i

j i

C t G A t D G



 

 

 

请看例题

第 5 页 / 共 36 页

上述过程中计算

并不方便，通常通过解方程

1 2

... 0

n n n

     

 

    

得到其根为：

, 1, 2,...,

i n





。

由于

1 2

... 0

n n n

     

 

    

的根与

1 2

1 0

B B B

  

    

的根互为倒数，因此

i i





。

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