平面向量的数量积是线性代数中的基本概念，它在几何、物理和工程等领域有广泛应用。本习题课主要围绕向量的数量积及其运算律展开，旨在帮助学生理解和掌握这部分知识。
向量的数量积（或点积、标量积）定义为两个向量的长度乘积与它们夹角的余弦的乘积。设向量 **a** 和 **b**，它们的夹角为 θ，数量积表示为 **a**·**b** = |**a**| * |**b**| * cosθ，其中 |**a**| 和 |**b**| 分别是向量 **a** 和 **b** 的模（长度）。当向量互相垂直时，即 θ=90°，数量积为0。
习题中涉及到的计算包括：
1. 计算两个向量的夹角。例如，设 **a** = (2, 4), **b** = (-1, -2)，则夹角 θ 可以通过数量积公式求得。
2. 利用向量的运算律进行加法和减法。例如，**a** + **b** + **c** 的计算，以及 **a** - **b** 的计算。
3. 探索等边三角形、等腰三角形和直角三角形中向量的数量积特性。例如，等边三角形的边长相等，因此相邻两边向量的数量积可以表示为边长的平方乘以1/2（因为夹角为60°）。
4. 判断向量是否垂直。如果两个向量的数量积为0，它们就垂直。例如，**a**·**b** = 0 表明 **a** 和 **b** 垂直。
5. 求解含有向量的几何问题。比如，找到使两个向量夹角为锐角的实数 λ 的取值范围，可以通过构建不等式来解决，即 λ**a**·**b** > 0。
6. 应用向量的方法解决几何证明。例如，证明四边形ABCD是矩形，可以利用向量的平行关系和垂直关系来证明对边相等且互相垂直。
提高组的问题则涉及更复杂的应用，例如利用向量的线性组合证明高线交于一点，以及寻找使向量模取最小值的条件。
通过这些习题，学生可以深入理解向量的数量积，掌握向量运算的基本规则，并能运用这些知识解决实际问题。在教学过程中，教师应引导学生熟练掌握向量的运算性质，培养他们的逻辑推理能力和空间想象能力。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
