平面向量数量积是线性代数中的一个重要概念，它涉及到向量的运算以及与几何图形的密切联系。向量的数量积，也称为内积，是两个向量之间的一种运算，它不仅给出了向量间相互作用的结果，还揭示了向量方向和长度的信息。
向量的数量积定义如下：如果两个非零向量a和b之间的夹角为θ，则它们的数量积a·b等于这两个向量的模长乘积与夹角余弦的乘积，即a·b = |a| * |b| * cosθ。这里的|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是向量a和b之间的角度。当θ为0°到90°时，a·b为正；当θ等于90°时，a·b为0；当θ大于90°且小于或等于180°时，a·b为负。
向量的数量积具有以下性质：
1. 零向量与任意向量的数量积为0。
2. 向量的加、减法结果仍然是向量，而数乘向量运算的结果是向量，数量积运算的结果是标量（即实数）。
3. 如果a与b垂直（a⊥b），则a·b = 0，反之亦然。
4. 当a与b同向时，a·b = |a| * |b|；当a与b反向时，a·b = -|a| * |b|；a·a = a² = |a|²。
5. |a·b| ≤ |a| * |b|，这是因为|cosθ|的取值范围是[-1, 1]。
6. 向量a在向量b方向上的投影是|a| * cosθ，这个值可能是正数，也可能是负数，取决于θ的大小。同样，b在a方向上的投影是|b| * cosθ。
向量数量积的运算遵循以下定律：
- 交换律：a·b = b·a。
- 分配律：a·(b+c) = a·b + a·c。
- 结合律：(a+b)·c = a·c + b·c。
- 线性性质：λ(a·b) = (λa)·b = a·(λb)，其中λ是标量。
这些定律在解决平面几何问题、物理学中的功、动量等实际问题中非常有用。例如，功的计算W = F * S * cosθ就与向量的数量积密切相关。
在解决问题时，例如例1中，已知|a| = 5，|b| = 4，夹角θ = 120°，求a·b。利用数量积的定义，可以得到a·b = |a| * |b| * cosθ = 5 * 4 * cos120° = -10。
通过向量数量积的运算律，我们可以简化表达式和证明等式，例如例3中的证明：(a + b)² = a² + 2a·b + b² 和 (a + b)·(a - b) = a² - b²。这些都是利用分配律和结合律进行的推导。
平面向量的数量积是向量运算的核心概念之一，它不仅涉及到向量的几何特性，还包含了代数性质，是解决涉及向量问题的基础工具。在学习和应用中，理解和掌握向量的数量积及其运算律至关重要。
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