已知两个坐标系下对应点坐标求转换矩阵

在机器人视觉导航中，准确地理解不同坐标系之间的转换至关重要。转换矩阵是描述这种转换关系的一种数学工具，它能够将一个坐标系中的点坐标转换到另一个坐标系中。本问题中，你拥有在两个不同坐标系下的多个对应点坐标，通过这些数据可以计算出两坐标系之间的转换矩阵。下面我们将详细探讨这一过程。 转换矩阵通常是一个4x4的矩阵，称为齐次坐标变换矩阵。在三维空间中，它可以表示旋转、平移甚至缩放等多种变换。对于没有缩放的情况，我们通常使用3x3的旋转矩阵R和3x1的平移向量t来构建转换矩阵T，即： \[ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 其中，R是一个正交矩阵，保持向量长度不变，其逆矩阵等于它的转置（即 R^T = R^-1）。t是平移向量，表示从原坐标系到新坐标系的平移距离。 要找到这个转换矩阵，我们可以使用最小二乘法或奇异值分解(SVD)等方法。假设我们有n对对应点坐标 (P1, P2), (Q1, Q2), ..., (U1, U2)，其中 Pi 和 Qi 分别代表在坐标系1和坐标系2中的点坐标，我们可以构造以下线性系统： \[ RX + t = Q \] 对于每一对对应点，我们都有这样的关系。为了解这个系统，我们可以将所有点的方程组合在一起，形成矩阵形式： \[ \begin{bmatrix} P_1^T \\ P_2^T \\ \vdots \\ P_n^T \end{bmatrix} R + \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \\ t_3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q_1^T \\ Q_2^T \\ \vdots \\ Q_n^T \end{bmatrix} \] 这可以用矩阵记号表示为 AP = B，其中A是n x 4的矩阵，P是4 x 4的转换矩阵（R在上3x3部分，t在下3x1部分），B是n x 3的矩阵，包含了坐标系2中所有点的坐标。 由于R是正交矩阵，我们可以先解出R，再求t。一种常见的方法是先解出R的近似值，然后通过高斯-约旦消元或者QR分解调整R使其满足正交性。接着，我们可以解出平移向量t，这样就得到了完整的转换矩阵T。 在MATLAB中，可以使用内置函数如`orth`来找到R的近似正交矩阵，`pinv`来求解最小二乘问题，以及`null`来计算零空间，帮助解决这个问题。具体的代码实现可以参考提供的“已知两个坐标系下对应点坐标求转换矩阵”文件。 这个转换矩阵的应用非常广泛，例如在机器人路径规划、相机标定、3D重建等领域。一旦获得转换矩阵，就可以将一个坐标系中的任何点坐标转换到另一个坐标系中，这对于机器人定位、目标追踪以及环境感知等任务至关重要。在实际应用中，需要注意的是，数据的质量（对应点的准确性）和数量（至少需要三个非共线点）都会影响转换矩阵的精度。