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导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例〔带
详解〕
题组一 导数与函数的单调性
1.(2009·广东高考)函数 f(x)=(x-3)e
x
的单调递增区间是说明 ( )
A.(-∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)
解析:f(x)=(x-3)·e
x
,f′(x)=e
x
(x-2)>0,
∴x>2.
∴f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
答案:D
2.假设函数 h(x)=2x-+在(1,+∞)上是增函数,那么实数 k 的取值范围是( )
A.[-2,+∞)B.[2,+∞)C.(-∞,-2] D.(-∞,2]
解析:因为 h′(x)=2+,所以 h′(x)=2+=≥0 在(1,+∞)上恒成立,即 k≥-
2x
2
在(1,+∞)上恒成立,所以 k∈[-2,+∞).
答案:A
3.函数 y=ax 与 y=-在(0,+∞)上都是减函数,那么函数 y=ax
3
+bx
2
+5 的单
调减区间为________.
解析:根据题意 a<0,b<0.
由 y=ax
3
+bx
2
+5,得 y′=3ax
2
+2bx,
令 y′<0,可得 x>0 或 x<-,
故所求减区间为(-∞,-)和(0,+∞).
答案:(-∞,-)和(0,+∞)
4.设函数 f(x)=x
3
+ax
2
-9x-1(a<0).假设曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直
线 12x+y=6 平行,求:
(1)a 的值;
(2)函数 f(x)的单调区间.
解:(1)因 f(x)=x
3
+ax
2
-9x-1,
所以 f′(x)=3x
2
+2ax-9
=3
2
-9-.
即当 x=-时,f′(x)取得最小值-9-.
因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,即该切线的斜率为-12,所以-9-=-
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