云计算-带有平行边的凸域弦长分布函数的计算方法.pdf资源-CSDN文库

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第２页

武汉科技大学硕士学位论文

随机几何、积分几何、微分几何、组合几何、代数几何、非线性偏微分方程，特别是蒙日

方程、数论以及Ｂａｎａｃｈ空间理论、概率和多元统计学．２０世纪３０年代，前苏联数学家

Ａ．Ｄ．Ａｌｅｋｓａｎｄｒｏｖ和Ｔ．Ｂｏｎｎｅｓｅｎ以及Ｗ．Ｆｅｎｃｈｅｌ引进了混合面积测度的概念．２０世

纪８０年代，凸几何分析有了很大的进步，Ｅ．１ｕｔｗａｋ引入了对偶混合体积的概念，这一

理论与经典的Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论之间存在一种优美的对偶关系，“星体＂对应“凸体”；

径向和对应Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ和；对偶混合体积对应混合体积；径向函数对应支撑函数；相交

体对应投影体进一步丰富了凸体理论，通过研究Ｂｕｓｅｍａｎｎ－Ｐｃｔｔｙ问题，Ｌｕｔｗａｋ的对偶

Ｂｎｍｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论有了很大的突破，该理论在２０世纪８０年代空前繁荣．作为

Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论的延伸，Ｆ

Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论快速发展，∥Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ

问题和口仿射等周不等式都具有极其重大的意义．许多长期未能取得进展的重要课题都

得到了长足的发展．对偶混合体积仍然是凸几何中最为活跃的研究方向．从２０世纪９０

年代开始，我国数学家张高勇在几何不等式Ｂｕｓｅｍａｎｎ．Ｐｅｔｔｙ问题的终极性解答等各方面

取得十分杰出的成果．凸几何既是一种基础的理论，又与实际紧密相关，具有很强的应用

价值．几何断层学是凸几何与体视学的一个交叉学科，研究几何对象的重构，具有深刻理

论研究的课题，是凸几何具有应用性的一个重要研究领域．

１．２研究背景与现状

凸几何分析在上个世纪主要的应用领域在于优化问题以及数学规划方面．近些年来，

美国的Ｄ．Ｙａｎｇ，Ｅ．１ｕｔｗａｋ和张高勇等人在这方面做了很多工作，使得关于Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ

的经典理论在信息论领域得到应用；为此，美国微软公司的总部设立了专门的研究部门，

青年数学家宗传明教授正在做与此相关的研究工作．通过Ａ．Ｖａｓｓａｌｌｏ和Ｒ．Ｊ．Ｇａｒｄｎｅｒ等人

的努力，凸几何分析已经广泛应用于仿晶学、数理经济学、体视学、机器人学中的几何探

索等领域．而作为现代几何分析的分支，几何断层学在医学领域也大展身手，它在ＣＴ扫

描、Ｘ．射线光机、计算机模式识别及核磁共振中都有很重要的应用．在Ｖ．Ｄ．Ｍｉｌｍａｎ和

Ｊ．Ｂｏｕｒｇａｉｎ的带领下，欧洲的数学家们更偏重于几何分析法在概率论、偏微分方程方面的

应用．

在我国从事积分几何研究的数学家也很多，著名数学家吴大任就是积分几何研究的先

驱之一．他第一个对椭圆空间的积分几何作系统的研究，获得了运动基本公式等重要结

果．他证明了关于欧氏平面和空间中的凸体弦幂积分的一系列不等式，并由此导出～些有

关几何中值定理和几何概率的不等式．前辈数学家苏步青在凸几何研究领域作出过卓越的

贡献，关于Ｓｔｃｉｎｃｒ曲率重心的成果至今仍被国内外凸几何方面的著作所引用．陈省身、

严志达、吴光磊等前辈数学家对凸几何的发展也都作出了很大的贡献．

上个世纪８０年代，任德麟建立了欧式空间中包含于凸体内部的定长线段的运动测度

的系统理论，并通过改进Ｈａｄｗｉｇｅｒ条件，证明了刀维欧氏空间中凸体的弦幂积分不等式，

形成了限弦函数和广义支持函数等概念，从而推导出凸体的运动测度．在研究古典Ｂｕｆｆｏｎ

问题的时候，他从积分几何的角度出发，进行了Ｌａｐｌａｃｅ推广，解决了一系列非常复杂的

武汉科技大学硕士学位论文

第３页

几何概率问题，对几何和概率的发展作出了巨大贡献．

１．３本论文所作的工作

本文主要分为两部分的内容．第一部分，研究凸域的弦长问题，迄今为止，现有的文

献并没有提供寻求凸域弦长分布函数的统一方法，本文以矩形为例，讨论利用广义支持函

数和限弦函数来计算凸域弦长分布函数的方法，文中提供的方法对于更广的一类带有平行

边的凸域也适用．第二部分，由Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式来证明等周不等式很容易，等周

不等式甚至可以说是Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式的一种特殊情形，从包含体积和表面积的欧

式球的等周特征的角度来研究等周不等式，最有成效，最自然的方法是通过仿射几何，在

几何不等式方面，以经典的Ｂｒｕｎｎ．Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式为核心，联系着一系列与之相关的仿

射等周不等式，如Ｐｅｔｔ）ｒ投影不等式和张高勇的仿射Ｓｏｂｏｌｅｖ不等式与工。仿射Ｓｏｂｏｌｅｖ不

等式．其中与仿射表面积有关的几何不等式也是重要的一方面，仿射表面积又有积分仿射

表面积和微分仿射表面积，本文在张高勇老师得出的一些主要结论下讨论其中某些与仿射

表面积相关的不等式证明，对两个重要的仿射等周不等式进行了等价证明．

１．４本文的内容安排

本文共分为四章：

第一章：概述了几何学的含义，以及几何学的重要分支积分几何和凸体几何的发展历

程和研究现状，主要代表人物以及他们所作的工作，围绕本文所研究的问题，在前人已做

工作的基础上，阐明本文的目的和意义．

第二章：介绍关于凸体、凸性的一些基本术语和基本概念，了解研究对象的几何性质，

为研究弦长问题做好基础准备．研究平面凸体的弦长分布问题，运用积分几何的理论与方

法，通过广义支持函数和限弦函数，求得矩形域弦长的分布函数．

第三章：根据Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｌ（ｉ理论及Ｌｐ－Ｂｒｕｎｎ－Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ理论，给出Ｌｐ射影不等

式与￡ｐ形心体不等式的等价性证明·

第四章结论与展望

论文最后安排的是参考文献和致谢内容．

第４页

武汉科技大学硕士学位论文

第二章带有平行边的凸域弦长分布函数的计算方法

２．１引言

凸体理论中一个重要的研究课题就是凸域的弦长分布函数问题，它有许多的应用背景

（模式识别、材料的统计分析等），弦长问题可以定性的分析凸体，使得凸体的形状和范

围直接得到体现．但迄今为止，现有的文献并没有提供寻求凸域弦长分布函数的统一方法，

本文以矩形为例，讨论利用广义支持函数和限弦函数来计算凸域弦长分布函数的方法，文

中提供的方法对于更广的一类带有平行边的凸域也适用．

２．２预备知识

凸性的的研究在许多数学分支中起着重要的作用．凸性与积分几何的关联尤为密，积

分几何中的普遍结论运用到凸的对象特别有效，当人们用积分几何的许多一般性原理或公

式去处理具有凸性的对象时，往往能得到优美的结果．于是，凸性便成了积分几何有效的

实证领域；反过来说，积分几何是探讨凸性的一种有力的工具．首先，我们来看凸体的基

本概念．

２．２．１凸集的概念

设Ｋ为Ｅ上一子集，当Ａ∈Ｋ和Ｂ∈Ｋ时，连结Ａ、Ｂ两点的线段也属于Ｋ，则称Ｋ

为凸集．具有内点的凸集的边界称为凸曲线．凸集Ｋ的边界常记为ａＫ，ａＫ的长度称为

凸集Ｋ的周长．

２．２．２直线的广义法式

设ｘｏｙ为平面上直角坐标系．ＯＲ为自原点引出之射线，由Ｏｘ轴到射线ＯＲ的角记为

缈．Ｇ为垂直于射线ＯＲ的的任一条直线，若Ｇ与ＯＲ交于Ｈ，规定ｐ＝丽（Ｏ到Ｈ的

距离），特别说明的是，若Ｈ与原点０重合，则ｐ＝０｛若Ｇ与ＯＲ的反向延长线交于Ｈ，

则规定Ｐ＝一ＯＨ．显然，在这样的规定下，Ｇ的方程为

ｘｃｏｓｑ参＋ｙｓｉｎｑｂ－ｐ＝０

（２．１）

方程（２．１）的形式跟通常的法式一样，但参数Ｐ，≯的意义不同，我们称（２．１）为直线Ｇ

的广义法式方程，并简记为Ｇ（ｐ，≯）；它比传统的法式有更良好的适应性．

此外，在有必要考虑直线的方向时，我们总是约定Ｏｘ至ＯＧ（ｐ，妒）的角为

妒＋三．

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